7. 質点系
   2. 質点系の運動量・角運動量とその保存
   3. 重心運動と相対運動

先週の最後には，質点系を導入して，その運動方程式から重心の運動方程式を導くと，質量と外力が重心に集中した場合の質点の運動方程式が得られることを示した．それが，これまでに質点の運動をいばって調べて来た根拠のようなものであった．先週の反省として，話題が変わったにもかかわらず，どこへ向かおうとしているのかが明確でなかったと思われたので，今日はまず最初に，「なぜ質点系なのか?」という話しをした． これまでの一体系の拡張としての２体系の導入や，いわゆる剛体系が相対位置を強く束縛された特殊な質点系であることを説明した．多体系の複雑な運動を解析する上では，簡単に見える運動にいかに分離するかが鍵になる．そういうことを全く考えないのであれば，あるがままを数値計算で運動の軌跡を求めればよい．しかし，そこから我々が得られる情報はどんなものであるかはよくわからない．多すぎる情報はないと等しいわけである．

まずは，質点の全系がもっている性質を見る．重心の運動方程式は先週見たが，そこからすぐにわかることは，外力がなければ，あるいは外力の合力がなければ，重心の運動量は保存し，等速直線運動することである．これは重心の運動は比較的簡単な振るまいをすることを示唆している．例えば重力下での質点系の運動の中では重心は放物運動をする．内力として爆発が起きて，各質点は複雑な運動をしていてもである．花火はその例である．もっと，目に見える系はというわけで，おもちゃを作っていた．名付けて「重心１号」．あんまり練習をしなかったので，実験はじょうずにはできなかったが，要点はつたわっただろうか?

どうように質点系の角運動量を調べておく．とはいえ，実は角運動量をちゃんと説明していなかったし，実は高校の物理でも取り扱わないことを最近知った．高校でやるのは面積速度一定だけである．講義ではまずは一体系の角運動量を導入してから，質点系のそれを調べた．質点系の内力が質点間の方向であれば，全角運動量の時間変化が外力による力のモーメントに等しいことをみた．ちょうど，運動量の時間変化が外力の総和に等しいことと対応する式である．外力による力のモーメントがなければ，角運動量は保存する．

さて，重心の運動をさっ引いたら何が残るだろうか．２体系の場合には，お互いの位置関係の運動がもう一つの自由度として残る．それが相対運動である．ここでは具体的に2つの質点系として，ケプラー問題を考えてみる．これまでに見てきた質点系の性質を一体近似と比較しながら，一つずつ見て行くことにした．例えば，２体系では重心が停止か等速運動するのであって，太陽の中心が止まっているとする一体近似とは微妙に違う．最後に運動エネルギーが重心部分と相対部分に分解できることを見て，終了する．ああー，角運動量の分離まで行きたかった．

なし．

1. 質点系の運動エネルギーを重心部分と相対部分に分解せよ．

符号が違う

ところどころちがったようです．が，最終的には修正がかかったかな．

重心運動の質量M

重心の運動方程式では係数は，M+mでした．

和の取り方

ΣijがΣ<ij>で書けること．後者はペア−に関する和になっている．一度ゆっくりと何についての和なのかを考えておいて欲しい．

結局ぶらんこの周期はどうなったか。

ちょっと混乱していました．先々週のこのページで結果は解説して， 水曜講義では今週説明したので，完全に説明したつもりになっていました．位相差が特別でなければ，立ち漕ぎはできるというのが数学の答えです．ちょっと自信がなかったので，いろんな人とこの話題で話してみたところ，ほぼ同様に賛同を得ました．特別な場合というのは，初期条件としてちょうど釣合の位置で速度0というのと，反対位相で揺れる，つまり，振れているときに座って，つりあいのところで立つという場合です．人間がする仕事を計算すればとどめがさせると思っていますが，まだそれはやっていません．以前に横国大の入試にもっとも簡単な場合のモデルが出ていました．それはパラメータ励振ではないのですが，人間が立ち座りにする仕事とぶらんこのエネルギーを議論しています．本質的にはそれで尽きている気もしないではないです．
後は実験をやってみますかね．もっとも，位相をずらして人間が振動できるかどうかが問題のような気がします．実際にやった人にあったことはありません．私も公園にいく機会があれば．．．

頑張ってます。

頑張って下さい．

スケール変換をやるには何か装置が必要ですか？

えーと，(私の大キライな)ドラえもんによれば，デカチビ光線でしたっけ?それでも時間の方はどうしようもないなー．質問の意図をちゃんと理解していないような気がする．

• 今週の出席者は５８名. レポートの締め切りにしては少ない感じですね． もう一息なんだがなー．
• 今日はおもちゃを作って来た．ヘンな形の平板の重心を求めるのはどうすればいいかは，高校の時にやるだろうか．そんなもん，習わなくてもできるような気もする．ほとんどパズルのような感覚だが，円をくりぬいたよな特別な例の計算方法を知るよりはもっと一般的で役にたちそうなです．今日は，どうしてそれでいいかは口頭で説明しただけだったが，式でその理由を説明できるようにしておくといいだろう．さて，そいつを投げたときに，重心運動と相対運動がどう見えるかというのが，やりたかったこと．実際に格好良くはいかなかったのは，単純に練習不足だった．もう少し板が太くするか，重くしないと，空気抵抗をもろにうけて，とっても普通には飛ばなかった．反省．
• 今日の講義の内容は必要だったかどうか，とても悩んだところである．直接剛体に入り込んでもよかったかもしれないが，その導入も含めてやはり説明することにした．昨晩のことである．結果として，講義の途中にも悩むところが２箇所あった．一つは，重心運動の分離のところで．一般的な話で押し切るか，具体例を先に出すかで迷った．いずれにしても，ここで実験をして，イメージを与えて，動機付けをしっかりしようとした．ところが，実験はイマイチ失敗気味で，ここで一般論の話だと，抽象的すぎて方向を見失うという気がして，思い切って２体問題に特化した話をした．実験は関係なしにしても，ここはよかったかなーと思う．簡単な式だけならば，一般論でも目で式を追って，頭でイメージというのも可能だろうけど．．．もう一つは最後のところで，ケプラー問題の運動方程式を示すかどうか．自分で調べたくなった人は勝手に勉強するだろうけど，そうでない人のためにももう一息運動方程式を書いておこうか，それとも，相対運動を抜き出したので，実際に解くのは別の問題として，サボるか．．．もう終了時間間近だったので，書いても解く時間はない状況であったので，そこで終わってもよかったが，運動方程式を書いてしまった顔を立てて，極座標表示で変形して，どうすれば線形の微分方程式になるかまでのシナリオをしめした．解かずとも，その運動方程式を見ながら，そいつが出て来る(有効)ポテンシャルを逆に示してみれば，以前やったように，振動解(この場合は動径成分の運動方程式なので，振動というのは回転運動に対応している)か，どっか行っちゃう解かはだいたいわかる．というを説明する時間もなかったので，書いてしまってから，改めて，やっぱ，やりすぎというか，中途半端だったかと思った．中途半端を補うために，ニュートンとハレーの逸話を紹介した．ハレーが惑星に働く力が距離の逆二乗則だとすれば，どんな運動になるかとニュートンに聞くと，「楕円運動」と即座に答えたそうだ．なぜそれを知っているかという問いに，「解いてみたから」とニュートンは答えたそうだ(うーん，かっこいー)．しかし，本当に解いたのだとすれば，楕円運動だけでなくて，「どっか行っちゃう解」も出て来るはずだから，本当に解いたかどうかは不明だとする説もある．ってな話しをしたが，これが学生にとっての動機付けになったかどうかはわからん．
• 最近，この「反省」コーナーで反省していないと自己反省して，今日は反省というか，講義を組み立てるための内幕というか，講義のディレクターズカットのようなものを書いてみました．余計だったか．．．