3. 静磁場の世界
   6. ベクトルポテンシャル
4. 電磁誘導現象とマクスウゥル方程式

ないのです．第二回レポートの解答例の修正版のコピーをちょっと持っていきました．必要な人は要求してください．

今日はベクトルポテンシャルの話しをした．静電気からの相似点を確認することで，ポテンシャルを導入する入口を探る．それは他でもないいわゆる?「磁荷なしの法則」である．ここで導入したベクトルポテンシャルには静電(スカラー）ポテンシャルにはない不定性がある．それはゲージ変換の自由度で，何かしら具体的にベクトルポテンシャルを決めようとしたときにはな，勝手にその自由度は固定する必要がある．その固定の仕方にはいろいろあって，それごとに人の名前が付いている．講義ではクーロンゲージを用いる．(なぜクーロンゲージと呼ばれるかを説明するのを忘れていた．)クーロンゲージの元でのベクトルポテンシャルの求めるために，それの従う方程式をあからさまに書き下してみる．それはポアソン方程式と同じ形をしている．もちろん，スカラーではなくて，ベクトルの方程式なのだが，その一般解は各成分を見るとクーロンポテンシャルの重ね合わせの形になっている．静電場の知識がここで効いてくるのである．(クーロンゲージを固定したあとでも，実は静電ポテンシャルの時と同様の定数倍の不定性が残っていることに注意しよう．それは基準点を設定することで固定するのだが，やはり無限大にとる)

ここまで考えてみると，静電場では電荷密度が与えられたときに，静電ポテンシャルを求めて，そのgradをとって電場を求めたことに対応する手続きが静磁場でもできることがわかる．すなわち，定常電流密度が与えられたときに，ベクトルポテンシャルをもとめて，そのrotをとって磁場を求めるというわけだ．ここで，素朴な疑問が沸いてくる(学生時代の遠い記憶を遡る)．静電ポテンシャルの時は，電荷分布に対する積分を一回やれば，ポテンシャルは求まり，３回微分すれば電場が求まるから得した気分があったものの，今の場合はどうよ．3つ積分して，６回微分するのは手間かけすぎではないか．しかもよくわからんゲージの不定性がある．なんだか，そこにあるようなないような気持ち悪さはどうすればいいだろうか．できるなら計算が大変簡単になるフクシマゲージを見付けてみたいもんだ．．．．大方の答えは量子力学の登場を待たねばならないことを簡単に述べた．

とは言うものの，少しでも感触をつかむために例題をあげる．一つは直線電流の作る磁場であった．これはこれまでにビオサバールの法則から，あるいはアンペールの法則から求めてみた例題であった．これをベクトルポテンシャル経由で求めてみようとうのである．私はどうもベクトル積が苦手である．すぐに絵が思い浮かばない．どうしても右手を堕してみる必要がある．訓練が足りないのだと思う．一方でベクトルポテンシャルは絵に書きやすい．電流密度(要素)と同じ方向だからね．この例題については，アウトラインを示して宿題とした．

次に，微小循環電流の作る磁場を求めて，磁気双極子モーメントを説明した．この計算にはベクトルポテンシャルを使うのが簡単だと思って，例題として挙げる．これは以前に電気双極子が作る電場と全く同じ形をしている．これをもってして，小さい磁石とみなそうというわけである．レポートで調べてもらった結果がここまで来て少し理解されるでしょうか?

最後に微妙に時間があまったので，次回のイントロをちょっと行う．次回では，動的な電磁現象を考えるにあたり，マクスウェル方程式が磁場と電場が混ざる様をみることにする．

1. 直線電流の作る磁場をベクトルポテンシャル経由で求めてみる．こたえ(PDF：53KB)

試験は昨年より難しいのか．．．

簡単だと私は思うけどねー．それは主観の問題だから．

• 出席表を回すのを今日も忘れてしまう．．早いもので，来週は最終回です．アンケートへの協力をお願いします．講義では評価の話しをちっとしましたが，遠慮ない評価を是非お願いします．
• 今日が今年の初講義でした．みなさんは年末年始いかがお過ごしだったでしょうか．年明け早々に研究会があったりして，精神的にはのんびりできなかったのですが，それでもしっかりと休暇をとりました．紅白みたりしたしね．ものすごーく不快で不安なSMAPネタがあるのだが，もう二週間もたっているのでやめときます．
• 今日のレポートから，気になったコメントを抜粋．もっとも，他にもいろいろ気になったコメントはあるけど．．．

  1.静電場と静磁場のアナロジーを強調するけど，それって大事なの？公式の羅列にしか見えないけど．．．．

  そろそろその公式っていう発想止めませんか？別に覚えてなくても，道筋をしっかり理解していればそんな公式は自分で出せますよね．まあ，目の前に試験なんていうケチさいものがあるから，そうは言っていられないということも分からなくはないですが，理想的な事をいえば，「もしも，離れ小島に一人ぼっちになったとしても，今ある物理の体系と同じものができるように．．．」です．

  2.ファインマンを使っていると授業の進路と教科書の順番が一致せずに少しやりにくいです．

  この講義ではかならずしも教科書を指定しなかったです．理由はどの本もフォローしないからです．ファインマンもそうです．かなりファインマンに従っているところもあります．一番近いんじゃないかなー．講義ノートを照らして，対応するところをみてみるのはいいのではないでしょうか．

  3. ビオ・サバールの法則とアンペールの法則の関係は，クーロンの法則とガウスの法則の関係と同じと見てよろしいんでしょうか?でも，ファインマンでは順序が違いますよね．歴史的な問題でしょうか？

  前者については，それでいいと思います．話しを聞いて，そうだと思いませんか？後者の指摘は正しいですね．ファインマン読んでますねー．上のコメントとも関係しますが，ファインマンでは磁場はアンペールの法則から入っています．これはどうもバランスが悪いと思うのですが，どうでしょうか．歴史的にはアンペール力といって，二本の直線電流に働く力の発見から始まったのだと思います．いやいや，それまでに磁石の存在は知られていたので，おそらく電荷に対するクーロンの法則に対応する磁荷に対するクーロンの法則が最初だったと思います．たしかに，磁荷があると思って，磁荷クーロンの法則から始まる本もあります．あるいは，クーロンの法則とローレンツ収縮から磁場を導入する方法もあるようです．ここではビオ・サバールから磁場を導入しました．どれがいいのかは，とても悩むところです．

  4. ....物理がいまひとつできません．どうにか自力で解決しようとモサクしながらはや一年が経とうとしています．...何かアドバイスありますか?

  物理ができるってどういうことですかねー．なんか小難しい物理の問題がスパスパスパーンと解けることなんでしょうか．それならば，問題集を買って，がんばって練習問題を解いてみるのでしょうか．
  それが一つの方法でしょう．でも，あんまり楽しそうじゃないなー．人の作った問題解いて喜んでいるのは，せいぜい公文式くらいで終わりにしたいよな．一人で悶々としているならば，いろんな人と話してみるのはどうだろうか．わからなくて困っているところを人に聞いてみるとか，ちょっと勉強してわかったことを人に説明してみるとか．人に話すことで，どこがわかっていないのかがよくわかるし，わかったつもりでもわかっていないことにも気付くものです．あんまりアドバイスになっていないな．

  5. 結構授業についていくのも大変なので，今学期の最終授業は「今までの総復習」といった形にしてほしいです．

  うー，そのご希望には答えられません．技術的にはもうその余裕がないからで，もう一点として，復習は私がやるのではなくて，みなさんがやるものです．これって，前に話さなかったけ．復習するポイントは各人で異なるのが普通です．強制的に「はーい，ここ復習ですよー」というのは何かが違うような気がします．あー，また学生のころのサークルの反省会を思い出しちゃったよ．

  6. ...何から始まって結局どんなことを導きたいのかをもう少し明確にしてほしいです．...何かホームページに毎週演習問題を載せるようにしたら見る日とも増えるのでは，と勝手に考えてしまいました．

  これはよい指摘をありがとう．どこに連れて行こうとしているかを最初に示すのはプレゼンの基本ですね．毎回講義の最初に「今日のおしながき」を示しているのだが，これをもう少し詳しくやればいいということかなー．確かにそれで結構改善できるような気がします．
  ホームページの件ですが，これは私の備忘メモのようなものなので，必ずしもみなさんに見てもらわなくてもいいんです(ちょっと寂しがっておるぞ．．．)．演習問題を載せるくらいならば，講義でちゃんと配りますよ．
  最近この講義ページの意味合いについて考えることがあります．これって，何かの役にたっているのだろうか？と．以前に，学生さんから感想主体で役に立たない旨のコメントをもらってから，ちょっと詳細を書くように努力はしています．しかしねー．それでも講義の代わりにはならないわけだから，依然として私の私的メモの域はこえないわけです．３年くらい経つと，こんなことに時間をとるのがいやになって，あるいは飽きてしまって書かなくなるかもしれんしなー．まあ，しばらくはやってみます．そもそも十年くらい前の私の学生の頃にはこんなことは出来なかったわけだから，何かしらの価値もそのうちに見出せるかもしれない．ないかもしれない．
  blogとか掲示板とかにすればいいのかなー．

  7. 新聞で，電磁波をとどめることができる箱ができたという記事をみた．そのしくみにも，静電遮蔽が関係しているのだろうか?

  これですね．それは関係ないと思いますが，理屈はまだよくわからないですね．実際の論文はこの雑誌に出るとのことですが，まだのようです．

  8. アンペールの法則でB・dxという内積をとるとスカラー量になってしまうと思いました．それから再びBというベクトル量にするには，どうやったらいいのでしょうか?

  素朴な疑問で大変よろしいです．もう一歩踏み込んで考えてみたいところです．
  これは原理的に無理ですよね．ガウスの法則のときもそうでしたが，そもそも3つの成分を決めたいのに，1つのスカラーの方程式しか与えられていない状況では，全ては決定出来ません．ただし，特別な状況として，対称性が高い場合はある成分以外はゼロになることが示せて，結果としてアンペールだけから磁場が求まるということはあります．今回の問題もそうです．注意したいのは，どういう理由でゼロになる成分があるのかということです．これを明示的に示していないレポートは結構あります． 本当に理解できているのか不安なところもあるし，公式を当てはめただけでは，ちっとも楽しそうではない．中にはとっても楽しそうなレポートもありましたよ．
  そもそも問題自体があまり面白みのある問題ではなかったなー．同軸の中心に逆むきの電流とかを流せばよかったか．．．