4. 仕事とエネルギー
   1. 仕事と運動エネルギーのつづき
      • 線積分とその性質，偏微分
   2. 保存力と．．

先週の最後に運動エネルギーが出てきましたが，「運動エネルギーの増分は力のする仕事に等しい」ということを最初に議論して，単位とか簡単な例題とかを見ながらイメージをつくっていきました．力ってよく直接目に見えないけど，エネルギーももっとよく見えません．いろいろ考える必要があります．

仕事は実は力の線積分で表せるので(ってこれが定義)，数学的な準備として線積分について説明する．必然的に偏微分を知らないと困るので，その辺りを説明．今日はいろいろ数学が出てきて困惑かもしれませんが，よく復習してみて下さい．線積分の例題を一つやったし，宿題も一つ出しました．でも，もっと例題を沢山示した方がいいかなー． 次には，ベクトルがスカラー関数のgradで与えられる場合の性質を議論しました．これが力学的エネルギー保存則に関係する数学的表式になっているので，ゆっくりやったんですが，数学から入るとなんのこっちゃわからんかもしれません．物理的な内容についはすぐ後に議論しました．すなわち，保存力の話です．保存力はかなり制限のきつい制約がついていますが，自然界の基本的な力は皆この形をもっています．今日は保存力の性質から，ポテンシャルの導入，そして力学的エネルギー保存則を導きました．

なぜエネルギー保存則がなりたっているのか，という疑問には完全には答えられません．今日の話では，その法則が成り立つために力の持っているべき性質は何かを議論したにすぎません．このことから，力の性質を分類することができます．速度に比例する抵抗力がある場合にはエネルギー保存則は成り立ちません．これはその力が保存力でないことからの帰結ですが，このことは失った運動エネルギーに相当するエネルギーを抵抗エネルギーと称しても構わないが，ポテンシャル・エネルギーの形では表せないということを言っています．

1. 式が間違っていないかチェック！ 今週も．
2. 黒板に書いたベクトルの原点から(1，1，1)への線分上の線積分が13/3になることを示せ．
3. 摩擦力とか速度に比例する抵抗力が保存力でないことを考察せよ．

1. なしですが，前回のレポートの〆切でした．レポートはチェックして，解答をくっつけて返却します．
   

1. 間違ってまーすシリーズ?
   一つは，線積分の途中の式が違ってました．ノートも間違ってたので，メモから移し間違いですね．もう一つは偏微分の計算ミス．これはちょっとショックでした，うっかりですがね．動揺が隠せないほどでした．背中からヒシヒシと伝わったんではないでしょうか．って，そんなもん伝えんでもええちゅーに．
2. 線積分の例題で，x,y,zがtに置き換わっています．どういうこと？
   積分すべきはベクトルの曲線ついての接線成分です．今の問題では，ベクトルは空間の関数で，x,y,zで表されていて，一方で曲線C(x,y,z)は媒介変数tで表されています．ですから，t=10の時の曲線上の位置がわかり，結果としてその位置でのベクトルがわかるということになっています．とすると，t=10のときのベクトルがわかるというわけで，ベクトルの成分はtの関数としてわかります．最初からtで書いておけばわかりやすかったか?

• 今日は出席表を回すのを忘れてしまう．うーん，痛恨．まあ，そこそこ集まったと思います．前半はすくなかったけどね．それから，ちょっとうるさかったので，苦言を一言．私はできるだけ敷居を低く構えているつもりで，学生が気楽に質問してもらったり，間違いを指摘したり，つまらん講義だと抗議できる雰囲気を大事にしたいとおもっています．でもね，それって，「なめてもいい」ということとは明らかに違うよね．よく考えてみて下さい． 何か新しいものを共同で作ろうとするときには，お互いに敬意をもった上で，生産的な議論がどんどんできればいいですよね．講義ではそんなことはなかなかできないけど，そんな考え方は伝えたいと思うわけです．たまたま私が10年くらい?先に生まれたから「線積分」とか知っていて，今講義で解説してるけど，それって大した知識の差じゃないし，知らない問題が出てきたら，それは学生さんの方が先に答えを出すことだっておおいにありますよ．例えば，「３番」とか答え知ってて，問題出してるわけではないんですよね．
• 「３番は解けないじゃないか」とのコメント(苦情?)をもらいました．簡単ではないですね．でも，「解けない」というのは変で，正確には初速度や抵抗係数，質量に依らない答えはないということですね．我々は綺麗な解析関数に書けないと，「解けない」と思いがちですが，そうではありません．むしろ，なんでも既知の解析関数で表される方が奇跡的で，希だということは認識すべきです．それらの値を決めれば，例えば数値的には「解ける」わけですし，問題設定を「投げ上げ角度は45度がよいか」とすれば，それより小さい方がよいと「解ける」わけです．今回の問題は実は運動方程式を解きなさいとは一言も書いていません．解かずに何かわかると，かっこいいですね．
• 考えてもわからんこともある．
• レポート提出ご苦労様でした．問5だけ，さーと見ました．いろいろ意見をくれて感謝しています．解答例とその対応(それから意図)はまとめて示したいと思います．