4. 仕事とエネルギー
   1. 仕事と運動エネルギー
   2. 保存力とそうでない力

今日は，前回から一転，概念論にいく．まずは，仕事を定義する．質点の軌道を考えたときに，力を分解してみると，軌道に対して接線方向と法線方向ではその役割が違うことがわかる．接線方向は質点の速度変化に寄与する．そこで，軌道上のある点Aから別の点Bに質点が運動する過程で力によってどの位速度が変化するかを見てみる．力の接線方向への射影，つまり力ベクトルと軌道の各線分ベクトルの内積をAからBまで足し合わせてみる．これを力がAからBまで移動する間にした仕事と定義する．この定義をホレホレ，ハレハレと変形すると，始点Aでのあるスカラー量と終点Bのその量の差に書けることがわる．その量こそまさに，高校の時に出てきた運動エネルギーと呼ばれる量である．力のした仕事とは，その間での運動エネルギーの増減に等しいということである．この文章だけ覚えても何にも意味がないことは講義のときに述べたとおりである．この性質の出てきた条件をよく考えてみるとよい．数学的な性質ではないが，それはどこに入っているかを考えてみよう．それから，どうして，1/2の因子がつくのかという問いにも，このレベルで答えられたはずである．その昔は，運動エネルギーがmv^2でいいじゃないかと考えられたことがあったそうだ．もちろん，それでもいいわけである．(今の定義から)全体に二倍した量だと思えば特に困りはしないだろう．しかし，今日の仕事の定義から導入されれば，自然に1/3でなくて，1/2がつくわけである．

次に，力の分類をしてみようと考えた．これまでに知っている力なるものうち，あるものはエネルギー保存則が成り立ち，あるものはそれが成り立たない．それでは，力を見た瞬間にそれが判別できるだろうか．というのがここでの問いである．微分方程式を解いて，エネルギーを計算して，保存するかどうかを調べればよい．．．これは一つの考え方だが，実はまだエネルギーなるものを定義していないし，仮に定義したとしても，本当にその定義で十分かどうかの指導原理はどうなるだろうか?

ここでは，まず保存力の定義から導入する．これはいささか天下り的だったかも知れない．仕事が経路に依らず，始点と終点の位置にしか依存しない時に，その力は保存力と呼ぼうというわけである．この性質はかなり強い制限である．この強い制限のおかげで，ポテンシャルと呼ばれる量が自然に定義できることを見た．保存力でないときにも，定義するのは勝手だが，その時にはどの経路でどのように運動してきたかに強烈に依存してしまって，ほとんど使い物にならない．保存力の場合はこの性質からいろいろと議論することができて，一番有名な帰結は力学的エネルギー保存則である．保存力という名前からバレバレではあるが，エネルギーが保存するような力とそうでない力が分類出来そうだということである．このことは，逆向きでないことに注意したい．つまり，エネルギー保存則が成り立つ力とそうでない力を定義したわけではない．あくまでもエネルギーの定義は後から付け足すわけである．逆に，こういうものをエネルギーと呼ぼうというわけである．さて，最初の問いにもどると，保存力かどうかを見破ることができるかというと，この保存力の定義はまたまた調べるのが難しそうである．経路によらないことを見るのはつらい．反例を見付けるのは簡単だろうが，全ての経路によっていないかどうかを言うのは難しそうである．実はこの判別には，もう少し数学が必要である．それは次回にもう少しだけ突っ込んでみることにする．

途中で，仕事を数学的に書いたときに，力の線積分で表せることをみた．そこで，線積分の話を少しだけした．完全に算数のお話をして，例題を与えたが，例題が

なし．

1. 一定重力の中で斜面にそって質点を落下させるとする．力のする仕事は斜面の角度の関数としてどうかけるかを示せ．もし，瞬間に答えが分かった学生さんも一度仕事の定義にもどって計算してみよう．
   1. 部分的に解答を示しておく．講義では落下させるときの，重力のする仕事と，運動方程式の解h=gt^2/2を使って，運動の前後でのmv^2/2を求めてみるとそれが同じであることを見た．でも，まあエネルギー保存則が成り立つことを知っていれば，斜面の角度に依存せずに，開放する位置エネルギーは同じだから，獲得する運動エネルギーはどれでも同じであることはノータイムでわかる．えーと，だから?仕事はどれも同じ．
   2. 実際に，仕事を計算してみると．．．というのが問題の趣旨．もちろん，答えはおなじだけど．．．
2. 線積分の例題を解いておこう．問題にミスがあった!下へ．
3. ここだけの宿題．エネルギー保存則を時間微分が0になるという表現で書いてみよう．

その線積分答えが．．．

おおお．問題が間違えているなー．これで答えがあわずに困惑するのは申し訳な い．正しい問題は，ベクトルAのy成分が-14xyでなくて，-14yzです．そうすると 答えは合う．

今日のコメントより

最近暑くてジメジメしているので，とても鬱．

最近眠くて授業つまらないので，とても鬱．

鬱って漢字書けているのはすごい．下の文章の副文は並列か因果関係があるのか気になる．．．関係あるなら，順番は逆だよな．

新フェスかったるい．

そんなこと言われても知らん．

ゆっくりーーおそいーー噂どうりだ．

こういうのって，「どおり」ですよね．「ぞおさん」「おねいさん」．．．うちの子は大変混乱しているが，同レベルだな．
本題ですが，遅くて不満があるのはとても健全です．というか，これは勝手読みだったりするか．もう一言書いてくれないと実はあんまり情報になっていない．

• 今日は投票数は71.ほとんど定常状態に入った感じです．この人数も講義のおわりの方であって，最初は少なかったなー．最初から出ないのであれば，来なければいいのにな．
• 今日はちょっとヘコんでいます．まずは，線積分の問題を間違えたこと．こういうところを間違えてしまうのは，どうにも緊張感がないからに他ならない．これは完全に困惑の原因ですね．すんません．しかし，それ以上に堪えたのが，今日の講義全体がどうも受けていないようであったこと(雰囲気)．質問もあんまり出なかったしね．エネルギー保存則が成り立つ条件が明らかになったんだけどなー．こういうのって，イマイチつまらんことなんだろうか．少なくとも高校生の私には知らないことばかりだった．そういえば，運動量保存則のときの表し方とちょっと違うよな．同じようには書けないのかなー．などと疑問が沸いたりしないのだろうか．ということで，上の宿題を追加．
  興味の持つところが違うと言えばそれまでだが，面白いと思う感覚を研く必要があるように思う．特撮の話のようにうすっぺらな?話や計算が出来て嬉しいという感覚でなくて，本当に面白いと思えることを見付ける感覚を養って欲しい．噛めば噛む程味があるするめ(ってみなさんはまだお酒を飲まないから旨味がわからんかな．そう，かっぱえびせんのように後を引く美味さのような．．．どっちもおじさんくさいな)のような面白さも世の中には結構ある．でも，こういう感覚は年とともに変わっていくものなのかも知れない．私の大学生のころに持ち合わせていたかどうかは自信がない．ケチャップ好きからしょうゆ好きに変わるように，ある程度歳を経ることが必要なのだろうか．