4. 仕事とエネルギー
   2. 保存力とそうでない力，つづき．
   3. ポテンシャル
5. 振り子からぶらんこへ
   1. 極座標

先週は保存力の話しをしたので，今日はそうでない方の力の話し．摩擦のお話をする．ここで何が言いたかったかは，ちょっと不明ですね．とにかく保存力でない例を示したかったのですが，アモントン＝クーロンの法則からすべり摩擦の話まで，完全にヨタ話になってしまった．まあ，こんな話をして，摩擦に目覚めてくれればいいか．

次にポテンシャルの話をいろいろ話す．まずは，ポテンシャルは力が与えられたときに基準点からの仕事として定義された，逆にポテンシャルが与えられたときに力をどう表すかを示しておく．算数で示しておいて，その意味を考える．ここまで出てきたポテンシャルにかかわるキーワードをまとめておいた．経路によらないということから，ポテンシャルの定義に繋がり，それと渦無しの条件がお互いにどういう関係かを説明した．渦無しの条件からポテンシャルの方にもってくる議論は出来ていないが，これは冬学期の電磁気でやることになるでしょう．幾つか具体例として，万有引力ポテンシャルやバネのポテンシャルを挙げておく．これは挙げるだけで，実際にそこから力を出してみるのは，宿題にしておく．

ポテンシャルの話しの最後にポテンシャル曲線の話しをする．保存力の場合には，ポテンシャルを考えることが出来るので，運動方程式をといて，軌道を計算しなくても，ポテンシャル曲線上での運動を考えることで，特徴的な運動は理解できる(この理解というのはどういう意味かは難しい)．適当にグニャグニャしているポテンシャル曲線をもってきて，そこであるエネルギーと初期条件を与えた時に振動するとか，どっかいっちゃうとかはすぐに分かる．ここでポテンシャルエネルギーが力学的エネルギーを全部持っていて，折り返して，段々運動エネルギーが増えて来て．．．．などとイメージができれば，またそれは一つの理解ではないでしょうか．こういう話しをすると，いわゆるHookeの法則はポテンシャル関数の平衡点回りの局所的2次曲線近似と同じであることがわかる．ほー，そうすると，結構一般的だなーと思えるわけである．今日の話しはもっとも簡単な一次元運動の話しだったが，これがもっと次元が増えたり，多粒子系になったりすると，複雑にはなるが，同じように考えられると嬉しいだろう．タンパク質なんかもそんな範疇に入るかも知れないと，ここでもまたヨタ話をいれておく．

最後に来週の予告をしながら，極座標を導入しておく．来週はぶらんこの原理をいろいろ眺めることにする．

なし．

1. もう一度，エネルギー保存則を力学的エネルギーEの時間微分が０になる ことで確認しよう．
2. 力とポテンシャルの関係(F＝-∇U)が成り立つときに，渦無しの条件(∇×F=０)が成り立つことをを示せ．
3. 万有引力ポテンシャル(スカラー)から万有引力(ベクトル)をもとめよ．
4. バネポテンシャルからHookeの法則を求めよ．

転回点とは?

ポテンシャルから力を出すときの式変形?

ここはちょっとだけ面倒ですが，誤魔化して黒板に書きました．ちゃんとフォローできるかなーと思っていたら，早速質問が来ました．聞けば(あるいはちょっと考えれば)納得な式変形です．

dE/dt=0のEは?

これは力学的エネルギーです．ちょっと文脈がずれていたので，わかりにくかったかもしれません．

渦無しの条件って?

それはまさにグルグルまわっていないということです．って，それではわからないと思ったので，絵を書いて説明しました．

渦無しの条件って?

今日のコメントより

ニャー．

ワンワン！

• 今日は投票数は６９.微減．レポートの〆切ではあったけど，台風が来ていたので，出足は極めて悪い．この半数くらいかな．講義が始まるころには晴天になる．まさに，台風一家じゃなくて，一過．
• 今日は第二回のレポート〆切でした．みなさん，大変苦労したようです．ご苦労さまでした．結構，難しい問題でしたね．一番なんか，問題の意味がわからんし，二番は計算してもなんだか，とっても解けそうにないし．．．幾つかの典型的なコメントに対して，お答えしておく．
  1. 全然(ちゃんと)できなくてすみません．．．レポート問題の目的をちゃんと説明していなかった私が悪いのですが，こういうのはあやまることではありません．何も悪いことをしていないのですから．一生懸命考えたのであれば，それでいいじゃないですか．どこができないのかが明らかになれば(例えば問題が悪いとか，自分でここの計算ができないとか)，それである程度の目的は達成されています．
  2. こんなに難しいレポートで，得点があまりないのは酷でっせ．．．そうかもしれません．でもすごく考えたとしたら，成績なんかよりも，よっぽど楽しい思いができたのではないでしょうか?
  3. ちょっと，こんな解けない問題出すのは問題じゃないの．．．簡単に解けないのは残念でしたが，簡単に解けて，シャンシャンレポート作るよりもよほどよかったのではないでしょうか?これからは，もう試験問題のように，ちゃんと答えが出るような問題ばかりではありません．これこれこういうことを知りたいためには，どのような問題設定をすればよいかということの方が重要になってきます．その意味では，今回の問題2-2は適切な問題ではないということですね．しかし，いかにも，思い付きそうな問題ではないですか．なんかこんなの解けないと悔しいよね．
     2-1はちゃんと解きなさいという問題だったから，それが出来ていれば合格ですね．そういうことを事前に言っておけばよかったです．これは反省点．
  4. レポート気合いいれてみました．．．それでとてもよいのではないでしょうか．次に楽しかったかどうかが問題になりますがね．研究なんかもそうですが，うぉりゃーーーと気合いを入れて，うううううーんとつめて考えないと，なんかこう神さまが降りて来ないというか，次の一歩が開けないのですよね．そういえば，最近神さま降りて来ないなー．
  とにかく，頑張った人にはそれなりの糧になったのではないでしょうか?(個人的にはあんまり糧って好きではないですが，特に何かを得たわけでなくても，楽しい思いをした経験がまた次に繋がると思います)
• 昨晩，質問に来た学生さんが数人いて，いろいろ頑張っている現状を聞かせてもらいました．1-2はちょっと失敗したなーと思っています(詳細は解答例を配るときに書いてみたいです)が，1-1と合わせてよく考えると，結構面白いです．ほとんど学生さんと話してわかったのですが．．．何を言ってるかわからんかもしれませんね．この問題には，係数を変化させると，絶滅やら人工爆発やら出てきますね．物理の問題ではないですけど，だから微分方程式って面白いんでしょうね．
  とっても簡単な参考書として，岩波の「物理のための数学」和達氏を挙げておきます．これは入門書なので，難しい話しはありませんが，読みやすくて分かりやすい本です．和達先生は本郷の理物の先生ですが，とても面白い先生です．講義をすると，半分くらいは与太話しです(ウソかも)．
• それから，遅くなりましたが，第一回レポートを返却しました．TAのお兄さんが赤を入れてくれています．太い字の赤は私です．返却を受け取っていない学生さんは，ドアのところに置いておきますので，持っていって下さい．．解答は来週配ります(予定)．質問はメールでもいいですよ!