今日は理想気体の話しをカノニカル分布の取扱いで話をする．ほとんど，適用例としては最初なので，ゆっくり説明する．いろいろとサボっていたところがあるので，実際に計算しようとすると補填が必要になる．さて，まず統計力学でのモデル化はミクロな状態の指定とそのミクロ状態に対するエネルギーを与えることである．ここでは理想気体を取り扱うが，理想気体とはお互いの相互作用を考えない気体のモデルである．それでもエネルギーのやりとりが無いといままでの議論が成り立たない．それはどこで行われるかというと，壁を通して熱浴と弱くエネルギーのやりとりをし，気体間でエネルギーの(完全弾性的に)交換はすることをモデル化とする．そうすると，ミクロな状態は全ての気体の位置と運動量で指定し，そのエネルギーは運動エネルギーだけをもっているとする．これでカノニカル分布で取り扱うことができる．
まず，分配関数の計算をする．そうすると，ミクロな状態は連続変数で表されているので，これまでと話が違うが，全ての自由度は積分して，位相空間をメッシュで割っておくことにする．そのメッシュはどの程度にすればよいかは実はこの枠組では答えてくれない．ここでは，量子論の要請からプランク定数の箱よりもちいさな世界はみることができないので，その大きさでメッシュを切ることにする．この大きさが議論のどこに残っているかは後で議論しよう．さて，分配関数を積分で計算するときに，こそっとN!で割っておいた．理由は後でみることにして，まずは計算．自由エネルギーまでを求めておく．先に設定したモデル化がよいかどうかは，この理論の枠組にはない．一つは実験結果と比較してみて，その妥当性を議論することだろうが，それ以前に理論的に妥当性をチェックする必要がある．それは熱力学との整合性である．つまり，ここでのFが熱力学での自由エネルギーだと言い張るのならば，示量性の条件は満たしていないと困る．その条件を調べてみると，今の自由エネルギーFは満たしている．そこには，さきのおまじないが絶妙に効いていることがわかる．さーて，必要な理由はわかったが，その存在の理由は何だろうか．これはまた量子論の同種粒子の非分別性に関係している．そのあたりの議論(ギブスのパラドックス)はいろいろと話した．
自由エネルギーが求まれば，他の量も調べたくなる．エネルギー，比熱に圧力を計算して，等分配則を導いて，ボイル・シャルルの法則(状態方程式)，さらにベルヌーイの公式も出しておく．モデル化が終われば，気体分子運動論で出てきたこれらの関係式は自然に自動的に出てくる．少しだけ気持ちよくなれただろうか．さて，今日の計算の中に量子論を匂わせる幾つかのことがらが出てきたが，それらで全て話が終わっているわけではもちろんない．例えば，このモデルの範囲でエントロピーをずーと低温まで調べてみたらどうなるだろうか．これは宿題にする．
時間が少し余ったので，例題を示しておく．それは重力中の理想気体の問題である．それは前回の試験問題でもあった．今日の結果と比較してみると，よい復習になるのではないだろうか．来週はまた別の例題を取り上げてみたい．
なし．
- 飛ばした式を埋めよ．
- 理想気体のエントロピーを計算して，温度の関数としてプロットせよ．
- 重力中の理想気体の統計力学的性質を調べよ．自由エネルギー，エネルギーを求めよ．エネルギー分配はどうなっているか．位置の期待値(あるいは分布関数)は温度とともにどのように変化するか?直観とあってるか?
今日はちょっと盛り上がったぞ．
- 量子論(粒子の統計性)は使った？
No.全然使っていません．特に，同種粒子の分別はできないことはモデルの中に採り入れましたが，粒子の統計性は入っていません．それをいれるだけで，結構面白いことが出てきます．理想気体の範囲でもフェルミ気体の縮退やボーズ凝縮なんかはでてきます．それは，この講義のあとの「量子統計」でやることだと思います．
- 式が違う．
- ベルヌーイの公式が違う．
なん箇所か板書を間違えていたのを指摘してもらう．N!で割った項の自由エネルギーでの符号ミスとか．．これが違うと困惑してしまうところでした．
- Maxwell分布の最後はどうやった?
最後に速度の分布関数(高校の教科書にものっている)に変形するところを飛ばしたので，何をやっているのかが，質問でした．
- 投票用紙の裏のコメントより
- もう少し式を追う間に図なり，説明なりがあると進度もちょうどよく感じられると思います．
なるほど．式の前と後は十分でしょうかね．私は計算にする段階になったら，頭真っ白にして算数したい方なんです．計算前はどういう計算なのかを考えて，計算後は何がわかったかを考える．計算は．．．
- 計算はしょってるところがあとから計算しようとしてできない．
まず，「しよう」としているところが偉い．後はちゃんとやりきろう．できないところが突き止められたら，是非質問してください．私でもいいし，隣の人でもいいし．
- 前回は速かった．
一言だけど，大事な指摘．
- 大変面白い．
- HPがよい．
これも，一言だけど大事な指摘(私にとって)．