５分前に教室に入って，ボケーとしていると，学生さんにレポート問題について質問があった．問題文と図の不整合で角度θの大小関係が違っていました．この点について，説明をして，さらに，前回のコメントとして，微分方程式の解き方の疑問があったので，それに対して答えた．その後で，練習問題3を配った．特に何も解説はしなかった．微分方程式は解くのはちょっと面倒な計算があったりする．解ける方針をまとめるだけでもよいし，これくらいの積分は大学生ならやってほしい問題でもある．大学への数学を読んでいる高校生の方が得意かもしれない．まあ，微分方程式を解くにはパズルを解くようなものなので，楽しみながらやってほしい．
さて，今日は粘性抵抗のある落下問題を解くことからはじめる．前回に解くべき微分方程式は記しておいた．この方程式は速度の一階微分方程式に変形できるので，普通に求積法でも解くことはできる．それは宿題にしておいて，前回の特性方程式の方法で解くことにした．まず，特解を求める必要があるが，これは睨めばわかる．睨み方はゆっくり説明した．それが求まれば，斉次方程式を解けばよいので，みなさんが疑問がっている「zを指数関数において」特性方程式を導く．これはほれほれと解くことができて，一般解はできあがる．さらに，初期条件を設定して，不定の定数を決めてしまう．これで微分方程式が解けたことになる．
ここまでは完全に算数の問題であるが，物理の話しに戻ってきて，この解の性質を見てみる．まずは，時間が十分経ったときを考えると，速度は一定になる．その速度のことを終端速度というが，これは思い方が速い．その終端速度は実は微分方程式を解かなくてもよく，運動方程式の力のつり合いからわかる．もちろん，今は運動方程式を解いているので，もっといろんなことがわかる．さきほど，時間が十分経ったといったが，それは「何に比べて」経過したと考えるかは大事である．この解では終端速度には指数関数的に近付くことがわかり，その指数関数を特徴づける時間スケールが１つあることがわかる．それは，指数関数の時間を規格化する因子で，具体的にはm/κである．特徴的な時間スケールがわかったので，今度はそれに比べて短い時間の方を考える．そこではテイラー展開をすると，表式は得られて，それは抵抗がないときの落下の式+抵抗の項にまとめることができる．落下の初期は速度がないとすれば，抵抗がないと思ってもよいことが解にも反映されている． 解の表式がわかったら，それがうまく説明できるかどうかは実験で検証されるべきだし，未知の変数κとgを実験的に決めるべきである．そうして，理論は進んで行くのだと思う．今の段階では，空気に比例する抵抗があったとしたときに，落下運動はどうなるかを調べたことになる．それでうまくいくこともあるだろうし，うまくいかないこともあるだろう．さて，もしこれがうまくいったとしたら，今度は次の段階，次の疑問がわくだろう．そもそもそのκってなんだろうか．その起源を考えたくなる．それは力学の範囲を越えているので，ここでは詳しい説明はできないが，論理がどうなっているかは理解いただけただろうか．講義ではその答えとしてストークスの流体力学の理論の紹介した．κは空気の粘性係数と落下物の大きさで決まっている．運動方程式は質点の場合を考えたが，実際に働く力は大きさを持っていることが大事である．例として，霧雨の終端速度の見積りを書いておいた．
ここで残り時間が20分であったが，思い切ってばねの振動の話をさらさらーと話してみた．今日は物理の話しはしないで，何も考えないで，機械的に解いてみた．次回はこの意味をゆっくり考えてみたい．
練習問題3です．がんばって解いてみてください．
今日も小道具はなし．密かにピンポン球をもっていったが，全然意味をなさなかった．
- 空気抵抗があるときの微分方程式を求積法で求めよ．
- m/κの次元が時間になっていることを確認せよ．
- 講義で一度テイラー展開を使った．これは今日のプリントで説明してあるが，それで理解できるか?
- (2005.6.6追記)週末に学生さんから，3-3で解いた位置z(t)の短時間極限の式がヘンとの指摘を受けた．上の練習もかねて，正しい式をt^2まで求めよ．
段々質問が出てきていて，いい感じです．できれば講義中に止めてくれてもいいんだけど．．．
- 一般解をそう置くのはどうして?
それぞれのSTEPでやっていることは理解しているのだが，なぜそうするのかとか，全体として何をやっているのかが理解できていないようだった．１つずつ疑問を潰して行った．途中で，どうして2つの解を足すことが問題になった．講義でも話すべきだったが，斉次の線形微分方程式は，重ね合わせの性質をもっている．ある解と別の解を足しあわせたものもやはり解になっている．一度試してみるとすぐにわかる．．．最後はスッキリしたでしょう．疑問は出てきたときにこうして潰しておくのが大事です．
- ばねの力って，これでいいの?ちゃんと復元力の向きに向いてる?
これを聞かれたとき，まずったかとすぐに思った．良い指摘でした．微妙に問題だったので，来週改めて説明します．
(2005.06.09)よく考えてみると，記述に間違いは無かったので，次回の講義の時にもう一度解説する． - やっぱ，指数関数とおくのと，線形微分方程式の関係がわからん．
指数関数は，微分をすると，また自分と同じ関数になっています．これが大事な性質です．
- レポート1のこのコメントはどういうこと．
すこしだけ議論をしました．これは楽しかった．
- レポート2の2はどういうことだっけ?
これまた，少し議論をしました．あんまりしゃべると答えを言いそうになるのだが，力積とはどういう量かを説明した．そのあとに，問い3についておしゃべりをする．いろいろ考えてみてください．
- クーラーが寒い．喉が乾燥して困る．(同感．わたしも)
私も喉が痛かったです．止めてしまえばよかったですね．
- 授業中に演習をしてほしい．問題だされても自分だけでは解けないし，具体例がないとわかりずらい．
- 自分も．一般的な説明だけだと，何いってるんだかわかんないところがあったときつっかえるから．
なかなかそんな時間はありませんね．解答も配ればいいですかね．自分で当てはめてみるのは楽しいことではないでしょうか．それから，何でもすんなりは行かないものなので，少々できなくても粘って欲しいところです．問題を見た瞬間に解答への道筋が浮かんでしまうような問題は，その人に取っては最初からやらなくてもよいような問題です．ゲームではないので，反射神経を鍛えているのではありません．本当に大事なのは，えーと，えーと，と悩みながら，あーでもないこーでもないと考えて，これでいけるんちゃうかなーとやってみて，本当かなーと吟味してみたら，やっぱダメで．．ということなんじゃないでしょうか．
- 皆様，南の島の大王の子供(?)になってしまいましたね．(雨の日はお休み)
雨か．
私はなんとなく，そんな歌あったなー程度の記憶でしたが，私の妻はよく知っていて，「風がふいたら遅刻して，雨がふったらお休みで」との教えてくれて，さらにその学生のセンスを褒めていた．それにしてもいい歌詞だ．曲は森田公一だったのか．- 板書のミスが多いなぁ．
そうですかね．私としては少ない方なんですが．．．ミスったままのときは是非指摘して下さい．
ちょっとだけ白状すると，毎年学生さんによく言われます．正直言えば，あまり堪えていません．すみません．なぜこんなに学生に言われるのかなーということも考えたことがあります．いずれ話しますか．- 今回人生で初めて遅刻した．やった大学デビュー．
あきません．そんなことはデビューせんでもよろしい．
- 前回の3ー1のSTEP3で，どうして突然y=C1eλ1x+C2eλ2x+y0になるのかわからなかったので，教えてください．
私の推測では講義の後に質問に来た学生さんかな?
- 「特解→特性方程式→一般解」の解き方については，機械的に覚えて使えばそれでOKでしょうか．
本当は，その「解き方」の意味を理解しておくことが望ましいですね．それをしておくと，その方法を忘れてしまっても，また思い出せますから．
- 今日は英IIのリーディングのテストです．えらいことです．+数IIレポも．．
ご苦労さん．
- 今日が物理レポ提出でなくて本当に良かったーーっ!
うまくずらしたもんです．
- 眠い．
ミンミンダーハー，どりゃーーー!
- 最初に黒板に書いてあった"レポート問1θ1> θ2"って何ですか?遅刻して聞き損ねました．すみません．
それはもう説明しません．
- 数学にかんしては全学ゼミもあるので，現象的なせつめいがほしい!
なるほど．そうですね．でもそのゼミ取っていない人もいるので，サボるわけにはいかないでしょう．ただし，もっと物理の話しを聞きたいということですね．
- 五月祭がおわったし，べんきょーします．
頑張ってください．
- 腹が痛いです．
- 心が痛いです．おれも．オレも．僕も．
心が痛いのは私はどうすることもできませんね．
- ６月になってしまいました．いい加減勉強しないとついていけません．
勉強しないとね．
- 気付いたら授業で変なことやってました．
変?
- 何かわかんなくなってきた．
どこが?
- クリーンボックスにビラを入れるとスッキリします．
講義の前に掃除してくれていましたね．確かに，同感です．
- 先生好きです．
おおきに．
- 講義イイ感じです．ピシピシっときた!!(ピシピシピシ．．．)
いいですね．
- 文字いっぱい．数字いっぱい．Help me...
がんばって．
- 眠いです．難しいです．
むむ．ところで，一番前の席で思いっきり寝てた奴がいたなー．それなら家で寝てる方がいいぞ．