3. 運動方程式を解こう
   2. 速度に比例する抵抗のある場合
      • 微分方程式の解き方1：変数分離
      • 微分方程式の解き方2：代数(特性)方程式の方法
   3. 速度の二乗に比例する抵抗(慣性抵抗)の場合はプリントで

今回も先週につづき，運動方程式を解いてみました．速度に比例する抵抗(粘性抵抗)がある場合です．簡単なので，変数分離で解けます．ところが，ここでちょっとドタバタしてしまった．どうしても，黒板の前に立つと，ノートを見ないでやるクセがあって，途中でノートと記号が違ったりして，今日は最後に間違ってしまう．学生さんがちゃんと突っ込んでくれました．
今後のことを考えて，微分方程式の解き方をまとめておきました．もっとも，数学の講義ではないので，深入りはせずに初歩的なところだけに留めておきました．もう一つ，一般の常微分方程式の解き方(特性方程式の方法)を使って，改めて解き直してみる．原理的にはこれでかなりのクラスの演習問題は解けるようになったんではないでしょうか．来週は，振動の問題をやった後でエネルギーの話に移る．

1. 式が間違っていないかチェック！
2. Web見ている人への恒例?の問題： 抵抗のある例では長い時間では終端速度での等速運動になることをみた．あれっ，高校の時にエネルギー保存則ってならったよな．落下が続くとどんどん位置エネルギーが減って，運動エネルギーに変換されるのだが，落下しているのに運動エネルギーが増えない状況になっている．余ったエネルギーはどこへいったのか?雨が降ると，雨粒も終端速度に達するが，溢れたエネルギーはどこへいくのか．雨の日には，スカラー波よりも恐い雨粒エネルギーが地上に充満しているのでは．．．．どこが間違っているか？

1. ５問出しました．〆切は二週間後(5/30)．４番に関する例題を来週やりますから，その後で解いてもいいです．２番はいろいろ考えること書いて下さい．５番の質問の真意は後で説明します．

1. 間違ってまーすシリーズ?
   なんか沢山あったので，覚えていません．指摘してくれてありがとう．それから，ちゃんと定義を説明しないで使ってしまっている記号についての照会もとても大事です．どこまでが共有できているところなのかわかっていないのが原因ですね．なんでも質問してください．今日は沢山質問があって，しかも公開で質問してくれたので大変よかったです．って，結局自分がミスしているだけなんだが．．．よかったと思っているのは私だけでしょうか．ミスについては「雑談」でまたコメント．
2. 変数分離法を使って，積分するときって，何で積分しているのか?
   変数分離形にできた後で，左辺はyで右辺はxで積分しているのは等式なのか?という疑問だと思ってしまったが，それでよかったかな．何か私が質問の意味を勝手読みしてしまったかもしれない．この答えは，両辺ちゃんとxで積分しています．つまり両辺同じ操作をしています．そうでないと，等式で無くなりますよね．さて，左辺は，x→yへの変数変換をやっているのです．その際にdy=(dy/dx)dxの測度の変換が必要です．変数変換の結果，左辺やy積分，右辺はx積分になります．
3. 特殊解を適当に見付けるって，どうするの．って，それを解く方法が知りたいのでは．
   とっても特殊な条件でよいので，非斉次方程式の解を一つ見付ければよい．講義で一つ例題をやったように，なんとか一つくらい見付かるもんです．説明になってないな．
4. 非線形方程式???
   講義では飛ばす予定だった「慣性抵抗のある落下運動」はプリントで配りました．それは非線形微分方程式ですので，特性方程式では解けません．でも変数分離で解けます．計算をフォローしてみてください．さて，質問は，非線形項ってどういうこと．
   代数(特性)方程式で解ける方程式は線形常微分方程式の解き方でした．線形というのは，d²x/d²tやdx/dtやx等の一次関数しか含まないことです．そこで二次以上の項を含む時には「非線形」といいます．慣性抵抗は速度二乗なので，非線形です．自然界には非線形項は沢山現れます．それは，カオスとよばれている現象の原因になります(ジュラシックパークにも出てきますよね)．線形方程式では，重ね合わせが成り立ちます．斉次方程式において，x₁とx₂が解の時に，重ね合わせたx=x₁+x₂も解になっています．というか，こっちが線形の定義です．
   それから，何回微分するかで方程式に名前をつけていることもあります．運動方程式は2かいの微分方程式と口でよく説明していましたが，黒板に書いたことなかったですね．「2かい」は時間で「２回」微分する項のことですが，「二階」と書きます．これは口でしゃべってもわからんね．
5. プリント間違ってます．
   はやっ!やっぱ，みなさん頭の回転早い(速い?)です．直したPDFファイルをアップしておきました．まだ，他にもあるかもしれません．ご指摘下さい．
6. まだまだ，あるよ．
   今日はやっとのことで，微分方程式を解いてみたので，いろいろ質問が噴出していました．レポート問題(三番)をもう一度自分で解きながら，考えてみて下さい．わからないところがあったら，メールでもいいし，私の部屋に来てくれてもいいです．

• 今日は先週ここで思い付いた，必殺技(紙を講義の後半に回す大作戦)で投票数を稼ぐ．今日の出席(投票)数は，50．復活です．というか，個人的に楽しんでいるだけなんじゃないだろうか．こんな紙回して，名前書かない程太い奴がいるのか．成績には考慮しないとか言ってるけど，集計とっているなんて，こんな紙はアカデミックハラスメント?だーーとか思わないで下さい．みなさんの声が聞きたいと思っているだけですから．という理由で，今日は新たに「紙の裏になんでも書いて頂戴」作戦を実行．コメント書いてくれてありがとう．コメントくれた学生さんの結果は，「簡単過ぎ」派が大半で，もっとガンガン行って欲しいということ．その他にも，「いい調子」派と「難しい」派がちょっとでした．これはこれからも続けて行きたいと思う．講義の回数が増えることで，途中で「難しい」派が増えたりしないようにしたい．けど，「簡単過ぎ」派の人数の人数は減らしたい．貴重なコメントを挙げると．．．．
  • 「簡単すぎて，講義に出なくても同じになっちゃう．」
    自分も大学生のころの物理(力学)ってそう思っていたなー．自分がこの講義を受けてもそうだろうな．どうするよ．高校の時に聞いたことがある話ばっかだしなー．もっと難しくするか．難しくするって，どういうことだろうか．どんどん先に進めばいいのだろうか．それとも，もっと難しい例題を示せばいいのだろうか．それはちょっと違う気がする．でも，講義に出て，新たな知識が得られないと感じたら，講義なんて出ないですよね(与太話聞きに来る？)．悩むところ．
  • 黒板の隅にでも番号書いて，板書がわかるようにして欲しい．
    とても大事な意見ありがとう．ためになります．今度からやってみます．自分のノートにも番号振っていないんで，バラバラになると困るんですよね．そうか番号ね．以前には，黒板の字が小さいとか，「微小量」を書くときに，字とか絵も微小になっているとか指摘されたことがあり，以後気をつけるようになったんですわ．私のノートには，台本みたいに卜書きがついているのだ．ここでこのネタとか，ここは大きくとか．．．
• 「間違い」についてのコメント．
  間違いは人間である以上避けられない(この講義程度ならば避けられるけど)．いかに，間違いに気づくかを考えるのは重要だ．何度も検算するのは大事だが，そうではなくて，「いろいろな側面から見てみる」検算の話をしたい．例えば，大学入試なんかでは，次元チェックはよくやる手段．今日の私の間違いもそれで十分発見できたはずだった．もうひとつ紹介したいのは，整合性のチェックだ．例えば，直感的な考えや，すでにわかっている事実と異なる結果になっていないかを調べてみることだ．言葉で書くと全く意味がわからんね．今日の話だと，運動方程式の解に初期条件を課したが，答えのt=0をとるとちゃんと出ていることを確かめる．また，速度の表式から，抵抗があると時間が長い極限で終端速度に達成するが，その時に等速運動の式になっているのをチェックする．速度が小さい時は抵抗が見えないから，自由落下の答えになっているはずである． さて，今日私が混乱したのはここで，時間が短い極限では，自由落下の式になっているはずだが，きょうの答えはそうではなかった．それは初期条件で速度をゼロでない条件(投げ上げる問題であった)ので，最初から粘性抵抗が効いている問題でした．そういうことは式を睨めばわかるんだわ．
  こうしてみると，微分方程式を解いた時点で問題は終わりではなくて，その結果をいろいろ見るのが大事だといっているわけである．考えてみれば，微分方程式を解くだけだとそれは数学でしか無いわけで，その先を考えて行きたいのだっ．