第9回のおさらい
今日のおしながき
  1. 運動方程式を解く
    1. はねの振動
  2. 仕事とエネルギー
    1. 仕事と運動エネルギー
今日のまとめと反省

先週メールで指摘されてように，短時間展開の式が間違っていたことを前の席の学生さんのノートを見せてもらって確認したので，そこの補足からはじまる．練習問題3の解答例も配る．少しは見直したので，ミスも減っているだろうけど，無いとは思えないので，慎重にチェックしてほしい．

さて，講義の内容はバネ振動の続きである．これも前回の講義の後で指摘されたのだが，運動方程式の力の向きを困惑しているようだったので，もう一度ゆっくり問題設定を考えてみる．一般解は前回，頭を真っ白にして求めておいたのであった．今回はこれに魂をいれてみたいわけである．それはちょっとおおげさな言い方だけど，簡単に言えばグラフに書いてみるということである．どうするどうする虚数が入ってるぞというわけである．オイラーの公式を使って，馴染みのあるcos, sinに関数として表す．ここでもう一息，定数を変換すれば，cosの和の公式が使えて単純な式になる．左辺の位置x(t)は実数なので，右辺も実数であるべしという条件が未定定数の間の関係を制限していて，変換するときにその性質をつかっているので，出てきた答えから虚数は消えているのであった．練習問題3．1．4の微分方程式も虚根が出てくる場合に相当するが，実数の初期条件を与えることによって，虚数が消えている．この時の未定定数も先の関係をもっている．一度確認しておいてほしい．

さて，この式ならば，グラフに描けそうである．ほれほれーと書いてみる．グラフを描くときの注意点をまとめておく．基本的な精神は，誰かにメール(FAXで?手紙で？)でグラフを送るときに大事な情報が何１つ欠いていないようにということである．まず，すぐわかることは，縦軸の振れ幅と，その中心位置で，これを軸の横に明記すればOKである．次に横軸だが，周期が必要なので，それを求めておく．周期の式など覚えておかなくてもよいことに注意して，「周期とは何か？」という式を書いてから，求めてみる．この値をしかるべきにところに書けばグラフは完成．この中のどれかが欠けても，情報が伝わらないことを確認しておこう．

ここまでで，運動方程式の解法は終わることにする．後は，いろいろな問題に対して，相当する力を考えて運動方程式を解けば，力学のすべてがわかると思ったら，そうではない．ここからしばらくはエネルギーという概念を考えてみる．まず，質点の軌道を考える．その軌道は運動方程式によって，表されている．今，質点に働いている力を軌道に沿っている成分と垂直な成分に分解したとしよう．軌道に平行な力は質点の速度を変化させようとして，垂直な力は方向をかえようとしている．2つの成分のうちに軌道に水平な方向に注目して，軌道にそってどのくらいの力がかかったかを積分してみることにする．これを力が質点にした仕事と呼ぶことにする．力さんががんばって働いて，質点さんに速度を与えたというわけである．その積分は運動方程式を介して，質点の速度を用いて表されて，あれよあれよという間に積分できてしまう．右辺は，出発点と最終点のmv2/2なる量の差になっている． この量を運動エネルギーと呼ぶ．標語的には「質点に働いた力のした仕事は，質点の運動エネルギーの増加分に等しい」ということになる．この意味はまた来週考えてみたい．

今週の配り物：
練習問題3の解答例です．がんばって解いてみてください．
今週の小道具：
なし．「最近小道具がない」と不満の声があるので，次回はなんか持っていくことにする．
今週の宿題：
  1. オイラーの公式が正しいことを確かめよ．
  2. オイラーの公式を用いて，sin x, cos xを指数関数を用いて表せ．
今日の質問：
今日はいつもとは違う学生さんが質問に来てくれた．これもまた嬉しいことです．
やっぱ，ばねの力がよくわからんよー

なぜマイナスがつくのかがよくわからんということだった．簡単のために?，ばねを横に寝かせて話してみた．さらに，具体的に数値を入れて話してみた．スッキリ!

力Fは太字なのに，今日のFtは太字じゃないの?

よく見てるねー．質点がある位置に来たときのことを考える．その位置で，質点に働いている力をFとする．これは力なので，ベクトルである．その力を軌道に対して平行成分と垂直成分に分けたときの，成分をFtとFnと書いたのでした．それらはベクトルの成分なので，スカラーです．講義中の説明がちょっとわるかったかな．

やっぱ一般解の置き方がわからんよ．

下のコメント欄へ．

運動エネルギーが出てくるところ．mvv' = (mv2/2)'

慣れていないと順方向に行くのは難しいと思えるかもしれないが，逆方向ならば簡単にわかることがある．逆方向の説明をしました．スッキリ!?

今日の雑談：
大学たのしいです．忙しいです．がんばります．

いやー，正直参った．おじさんにはまぶしすぎるコメントだ．若いっていいなぁ，と本気で思った．ワシもそんな頃があったぞ．何事にも是非がんばってほしい．

大質問大会のような質問する機会を８月のはじめにもやってほしいです．

むむっ．二度やるというのか．別に個別に質問してもよいのだぞ．

今日の前半ちょっと早すぎて，数式をよく考える時間がありませんでした．辛いッス．

そういえば，今日はオイラーの公式を知ってるか?と聞いたら，「知らん」と答えたので，そこをバババーと話したので，悪かった気がする．流れさえ理解していれば，数式の意味は家でも復習できるはず．復習大事ですよー．それでもわからなかったら，また質問して下さい．

レポート持ってくるのを忘れて全部書き直す羽目に．

あわわー．ご苦労さまでした．でも，書き直せたのだとしたらエライし，書き切れていない部分があったら，後からでも見せてください．

ノーコメント

なんか書きたかったんだよね．

ホチキス．プリーズ．

レポートの中に，それとなーく，ホッチキスしてないレポートが混ざっていたりします．まあいいんですけど．例えば，各ページに名前とページナンバーを入れておくとか，保険もしておいてほしい．

サークルと高校時代の部活の合宿がかさなってしまいました．どっちにでようかとてもまよってます．困った．

それはワシに言われても困る．ワシも最近，自分と同程度の能力でいいので，もう一人の(もう少し真面目に働く)自分が欲しいと思うよ．

８月前半は帰省するので，しつもん大会はなるべく月末におねがいします．

なるほど．少なくともお盆の時期にはやらないです．

近頃，急に難しく(訳がわからなく)なりました．どうしよう?

確かにそうかもしれません．まずは，訳がわからんところを見つけましょう．それから，１つずつ詰めていけばいいのではないでしょうか．これから先に起こるであろう沢山の困難の解消の訓練だと思ってやってみませんか．

微積の式の変形がよくわからないので，暗記することにします．

暗記か．若いからこそできる技だとは思うが，文脈を覚えた方が絶対に応用範囲と，脳ミソの容量節約になる．なんでもかんでも，ディスクに保存していたら，すぐに容量イッパイで保存出来ませんっとなってしまいますよ．

説教してくれる先生を東大で初めて見ました．

ちょっとまずかったかな．まあ，そんなにめくじら立てるほどのことではなかったと思います．思わず(おじさん)説教モードのスイッチが入りました．一年生の早いうちに聞くならいいかなと思って話したところもあります．もう高校のときみたいなお勉強やってんじゃなくて，学問をやっているという意識を強くもってもいいのではないでしょうか．学問をなめてもらっては困ります．しかも，それは君らががんばって勝ち取った東大のキャンパスの中でできているんです．恵まれてますよ，絶対に．そんな学問を志している学生さん達を邪魔する権利は誰にもないのであって，そんな奴は絶対にワシは許さんのだ．というわけで，講義中の私語はつつしみましょう．

やっと楽しくなってきましたね．

これまでは頼りなかったということですかね．さーて，もうちょっとがんばりますか．

今日はねむくならない!

今日の話しはよかったということでしょうか．それともミンミンダーハー飲んで来た?

y=C1eλ1x+C2eλ2x+y0を先週聞いたのは，帰り際に質問した学生とは別人です．どうか教えてください．(再)

あれれ．そうでしたか．完全に勘違い．もう一度黒板の前で解説する． しかしながら，どうもピーンと来ていないようでした．もう一度自分で悩んでから質問にくれば絶対にスッキリするような気がします．その学生さんは次の講義のシケタイらしいのですが，講義の時間に食い込んでまで話をしていました．「今日はどうしてもほっていけない」と思ったらしく，シケタイそっちのけで質問に来たというわけです．今潰しておかねばならない疑問って確かにあるし，そういう直観は大切にしたいですね．繰り返しますが，もう一度自分で悩んでみてください．

バネの絵をかく時にぐるぐる書いてると止まらなくてついつい長くなっちゃいます．

黒板の端から端までぐるぐるやってみたい衝動に駆られることもあります．電気抵抗のジグザグとかも．でも，抵抗の場合のジグザグの数は確か3個に規格が決まっていたような．．．

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