2. 静電場の物理
   9. 導体のつづき
      2. 映像法

今日は前回にイントロをやった導体系の電場を求める問題を解く手法としての映像法を解説した．導体の性質の中で，特に導体中で電位が一定になること，その結果として，導体表面での電場が垂直成分しかないことが，問題に課された境界条件ということになる．この条件と回りにバラまかれた(点)電荷のつくる電場を求める問題がここでの主題である．もっとも簡単な例として，無限に広い導体平板からある距離に置いてある点電荷の作る電場を求める問題である．ここでは，点電荷の存在によって導体の表面に誘起された電荷がどのようになっているかは事前にはわからない．当然，点電荷の作る電場だけでは導体平板の表面での電場が垂直成分だけになるわけがない．それを解く方法の一つが映像法である．導体表面を鏡と思って，移った場所に反対符号の電荷(映像電荷)を配置する．そこで，導体を忘れて，元の電荷と映像電荷だけの系を考えればよい．この2つの点電荷系の電場および電位は簡単に重ね合わせの原理から求めることが出来る．

さて，まず調べてみることはこれが想定している境界条件を満たしているかどうかであるが，導体表面の位置(x,y,z=0)では電位はゼロ(必ずしもゼロ出なくても，一定であればよい)になり，電場は垂直成分だけがゼロでない．一方で，導体表面の電場の垂直成分はガウスの法則より，局所面電荷密度と関係がついていることがわかっている．今，電場が分かったので，逆に面電荷密度が分かるということになっている．ここにきて，やっと，導体表面に誘起した電荷の様子がわかったことになる．ここで当り前のチェックであるが，誘起した電荷の合計を面電荷密度を導体表面全体で積分してみる．すると答えは映像電荷量に等しくなっている．ゆっくりとからくりを考えてみて欲しい．最後に，点電荷に働く力を求めてみた．誘起した負の電荷とのクーロン引力を計算してみてもいいのでが，そんな難しいことをしなくても，この系は2つの電荷の系と等価であることから，簡単な２電荷間のクーロン引力に等しい．導体はもともと電荷をもっていなかったことを考えると，それに電荷を近付けると引力が働くのはなんとなく面白い(かな)．

ここまでで，ほとんど持ち時間を費してしまった．微妙に十五分残していた．前回もそうであったが，時間の使い方がちょっとよくない気がする．残った時間で，映像法の他の例の紹介に時間を費した．一つはよくある例で，垂直に曲がった導体平板の近くに一つの点電荷を持ってきた例．昨年のレポート問題として出した時の解答(PDF,175KB)がある．興味があれば見てみて欲しい．他にも導体円の問題や2つの平行平板導体の問題がある．後の問題は無限個の映像電荷が必要な問題である．この答えが書いてある教科書を私は見たことはない．電場や電位を求めるのは難しくはないのだろうが，誘導電荷を求めるのは難しいのかもしれない．

映像法のからくりは，適当な(点)電荷の配置の元で，ちょうど導体表面が等電位面になるようにうまく映像電荷を置いたことである．逆に考えると，複数の点電荷の作る等電位面上に導体表面を持ってくれば，同じ問題はいくらでも作れることがわかる．こういう設計の仕方もあるのであろうか．少なくとも，試験問題の作成にはいいかも．．．

今日はなーし．

1. 小出しに出した方がいいのかもしれないね．とりあえず，来週提出のレポートがあるから，今日はなし．

2つの平行平板導体の系はどうして無限個の映像電荷がいるのか．

鏡の世界をよく見てみて下さい．そうすればわかるでしょう．さて，映像電荷の総電荷量はいくらでしょう?また，導体表面で電位が一定になっていることを示せ．計算はするな，簡単に示せ．

導体が薄っぺらくて，映像電荷を置く場所が導体でないときはどうなるのか?また，導体の反対側はどうなっているのか?

導体表面にどのような境界条件を作るかが問題なので，映像電場を置く場所の状況がどうかは関係がない．どんどん置いてしまおう．映像電荷を置くことと，実際には導体表面に誘起電荷が生じることは等価なのである．さて，薄い導体の場合は，その反対側がどうなっているかは気になるところ．今，導体の電荷がゼロにしてあれば，誘起電荷分の反対電荷が余ってどこかにいきたいがっているはず．それは導体の反対側表面にしか存在できない．どのように電荷は分布するだろうか．この場合も，この電荷が作る電場が表面に一定になるように配置されるはずである．それは一様に分布されるということである．導体表面に点電荷がいる側はそれなりに電荷配置がされるが，それは反対側には何の影響もなく綺麗に一様分布されるというわけだ．これも静電遮蔽の一種か．(2003.12.9記)

• 今日も実は十五分前に教室にやってくる．先週のこの欄では終了宣言をしたものの，実はそんなことにめげてはいないのである．そもそも研究者というのはとてもねばっこいものなのである．特に何をしたというわけではないし，何しに早く来ているかという主義主張があるわけでもない．なんとなくである．なぜに物理が嫌われているかの一端を聞いたような気がする．それは「目に見えない」ことへの理解の難しさであった．「力って何」から始まって，物質波．．．ドブロイ大キライということだった．これは物理に限ったことではないだろう．いろいろと言いたいことはあったけど，講義が始まるところだったしな．目に見えることのあまりに少ない現実と目に見えないことに想いを馳せる醍醐味と，そして，やはり所詮見えないものは見ていないのだと言う認識を是非沢山味わって欲しいと思う．
• 恒例?の「今日のアンケート」はレポートの復習をしているかであった．さて，今日の結果は極めて悪い．すなわち，ほぼみなさん復習してない派であった．予想はしていたんだがね．あちこちで復習の大切さを訴えてはいるが，やらないよねー．私もやらんかった．講義でなんか面白そうな話しをして，もう少し先へのエサをバラまくとかすればいいんだろうけどね．
• 先週のアンケートでは講義のスピードを聞いたのだが，ちょっとゆっくりという話しもあったが，今日の講義も同じペースを貫いてみた．どうであっただろうか? 講義の目的はなんだろうかと駒場に来て何度も考えてみる．まだ着任２年目なので，こんなことに悩んでいるのも許されるであろうか．もっとも，悩みながらの講義を受けている方は大変迷惑な話しである．ゆっくりやって，学生の理解度(の平均点)を上げるのがいいことなんだろうか．この講義のシリーズでも「授業アンケート」なるものをやるが，素朴にはどうして学生の評価を気にする必要があるのか理解に苦しむこともある．やっぱ，大学側の認識は，講義でなくて，授業なんだよな．
• 今日のコメント集

  1.寒くなってきましたね．でも教室がぬくぬくしすぎて眠くなりそうです．

  そうですね．私も教室に入った第一感が「あったかい．．」でした．早く来た学生さんが，草履をあたためておいてくれたんだと思います．次回はもう少し涼しくしましょう．

  2. 毎回遅刻はしなくても，うとうとしてしまって，わからなくなりそうなので，今日は目パッチリがんばります．

  朝が早いとその反動はありますよね．

  3. 今日こそは先生より先に教室に入るつもりだったのに，東横線30分遅刻．．．T_T

  負けそうだったので，ちょっと念を送っておきました．「先生」は止めて下さいね．

  4.ふう．今日もちこくしてしまった．あーあ．

  次回は今日より十分早く家を出ましょう．

  5. レポートが物理Aの人にムズカシすぎぢゃん!?とおどろかされました．まさかテストもこうなんですか??楽しんで物理を学びたかったのに，ビクビクしちゃうぢゃないですか．．．でも授業はナニゲに楽しいですよ．

  難しいかどうかは完全に主観ですから，人がどう思うかどうかは関係ありません．どうでしょうか．難しいデスか？難しいかも知れません．はっきりいって，内容は物理Aとそれほど変わらないと思いますからね．もちろん，講義はゆっくり時間をかけてやっているから，チンプンカンプンではないと期待しています．テストはレポートよりは難しくはできません．それは当然でしょう．ナニゲに楽しいのが一番です．

• 最近思ったこと．