電磁気2009おさらい10

電磁気学第10回おさらい

今日のおしながき

• 静磁場の世界
  • ベクトルポテンシャル
  • 磁気双極子モーメント

今日のまとめと反省

前回，磁場の満たすべき方程式を導いたので，電場と同じようなポテンシャルを探すことにする.．しかし，静電ポテンシャルが決まるような構造はないので，磁荷のない条件から，ベクトル場のポテンシャルを考えることになる.これをベクトルポテンシャルと呼ぶ.静電ポテンシャルや力学で習うポテンシャルと同じように不定性があるが，ただのエネルギーの原点の任意性のような定数ではなく，空間の各点で異なる，位置に依存した任意性があり、これをゲージと呼ぶ.空間の各点に別々の目盛を置くような意味であろう.そのゲージをどれかに選ぶ方法はいろいろな方法があるが，一つとして，ベクトルポテンシャルの発散を決めてしまう方法がある.ここではクーロンゲージと呼ばれるを取り上げる.この条件の元で、ベクトルポテンシャルの満たす方程式を導く.ここは静電ポテンシャルの方程式を導くのとほぼ同じであるが、途中にクーロンゲージの条件を使う.そのとき，ベクトルポテンシャルの満たす方程式は形式的に静電ポテンシャルの満たす方程式と同じなることがわかる.だから，その一般解はクーロンポテンシャルと同じ形になるはずである.ただし、今回はベクトルの方程式なので、３成分ある.これで，電流密度から磁場を導く経路として，ベクトルポテンシャル経由でも求まることがわかった.電場の時にはこの経路をたどるとスカラーポテンシャルを求めて微分をすればよいので、少し手間が減った感じもしたが、今回はベクトル場を求めてベクトル場を計算するので、むしろ手間は増えている.一つよいことは、ベクトルポテンシャルは電流密度に比例しているので、どっちむいているかで、右手をあっちむけたりこっちむけたりしなくてもすむことくらいか.数学的には今まで出してきた電場と磁場の満たすべき方程式は全部で８つあって、冗長だったけど、４成分のポテンシャルΦとAの方程式は４つなのは気持ちがよい.

さて、ベクトルポテンシャルの例題をみておこうということで、以前にも調べた無限に長い直線電流のつくる場を計算することにする。まずは絵を描いて方向をしらべる.電流をz軸方向に流せばベクトルポテンシャルもz方向であるので、Azを求めればよい.あとは定義式に代入して計算すればよい.ただし、無限遠方まで積分するとこの定義のAは発散してしまう.そこで、いったん積分の両端を有限（かっとオフに止めておいて、あとから無限大にする.そうすると、後で磁場を求める際にはこの発散項はどうでもよいことがわかる.カットオフ無限大の極限のときの定数項を正しく求めると、これまで求めてきた磁場にたどりつく.

最後の２０分で、磁気双極子モーメントの話をする.ここはループ電流の作る磁場と電気双極子モーメントの作る電場との形式的類似性から，ループ電流といわゆる磁石を同一視してもよいことを示す。磁場を求める際に、せっかくなのでベクトルポテンシャル経由でもとめてみる.ループ電流を遠方からみたときの様子を知りたいので，ざっくりループ電流を近似して，最後までいく.次回から電磁誘導に入る.

今日の宿題

• 次の式が成り立つことを確認せよ：
• クーロンポテンシャル型の一般解がクーロンゲージの条件を満たすことを確認せよ.

配布するファイル

• 第三回レポート問題：report3.pdf(106)

今日の質問

レポート問題のx軸方向とは？

問題文にx軸方向とかいていながら図にはどっちかかいていなかった.紙面の右方向をx軸とします.上のファイルのは矢印を足しておきました.

今日の投票用紙の裏より

ゲージとは何なのか。。。

ゲージの日本語訳は目盛でしょうか．講義の文脈だと，空間の各点ごとに違う基準点をさしています．

問題集をちんたら解くので精一杯です．けっこうむずかしい

なんでも，簡単に解けるわけではないです．じっくり時間をかけて解ければよいのではないでしょうか．

物理系に進みたいのですが、理学、工学、教養学部のどこにいこうか迷っています．理学部に行く人ってどのくらい頭がよいのですか？

それぞれ違う特徴を持っています．ぜひ、ガイダンスにいくことをお勧めします．教養学部に限って補足すれば，ここは理学部とは異なり物理だけを学ぶは想定していません．基礎科学科の講義の教室に一日座っていると，数学から物理から化学から生物までいろんな内容が楽しめます．それはうすく広くと思われるかもしれません．半分は当たっています．理学部の物理学科で勉強するよりは広くなっているので，その分うすくなっているところはあります．ただし，それを補って余りある広さが基礎科学科にはあります．物理が一番興味ある。。けど化学も生物も好きというような，いろんなことに興味がある人ならば，基礎科学科はお勧めです．それから，理学に進む人って，そうですね，どのくらい頭がいいのでしょうか．私はあまりそんなことには興味はありません．

師走と言いますが、先生はあまり走ってなさそうですね

えーーーー．そうみえるか。。。腰まわりがダブついている？ってそういうことではないか．これ以上走れというのか！！

何を覚えたらよいのかよくわからない．

覚えるか。。。覚えて済む問題ではないとおもうんだけど。。。

さいご早すぎて理解で来ませんでした．のとことか．

まったくそのとおりでした．いけませんね．反省．

レポート問題難しいです。。。

そうですか．そうかもしれません．

授業に出ている人のうち、内容を理解してついてきているのは何人くらいだとお考えですか？

これはトップページにコメント．

問題集は「試験直前にやるぞー！！」「量多いorz」となる模様です．

ううう．それは危険．

今日の雑談

• 今日の投票数は， 57でした．
• 今日のアンケート

問題集はみてる？

まあ，半分は注意を換気するためのものでしたが、予想に違わず半分以上はみてないとのことでした。それでも、「半分といた」人もいて、みてる人もそれなりにいるようです．

今回のWEB投票

• 今日の講義の出来は?

今回の一行コメント

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