電磁気2009おさらい6

導体に入る前に、前回の最後につぶやいたことに対する解答をしておく．それはガウスの法則とうずなしの法則からクーロンに戻れるかということ．そのために，その二つを合体させて，電位の満たすべき方程式を求めてみる．特に注意することはなくて、合体させると一つの偏微分方程式がでてくる．ポアソン方程式である．これを解くことはここではやらないが，境界条件を定めたときの解の唯一性から何かを見つけてくればそれが解であることが保証されている．それでクーロンの電位がその方程式の解になっているのだと宣言する．本当はもう少し計算すればそれが確認できるが、そこはみなさんへの宿題とする．微分方程式をとくのは難しくても、解が解であることを確認するのは簡単である．残された問題は，二つの方程式を合わせると、条件が多すぎやしないかということだが、それは大丈夫で、３＋１の４つの式は互いに独立ではないことがわかる．

さて、それで導体に入る．導体の性質を簡単にまとめておいて、ガウスの法則からすぐにわかることをいくつか説明する．多くは高校のときにきいたことのある話かもしれないが，基本法則からその性質が出てきているところは気持ちがよいのでないだろうか．その後には導体の一つの顕著な性質である静電遮蔽の話をする．これもガウスの法則と渦なしの法則から説明できる．少しゆっくりと、ありうる可能性を絞って、やはり空洞内部には電場は入ってこないことを示す．

最後に，残った時間で、鏡映法の話をする．これを講義で話す裏の理由は講義の最後に話すことにして，表の理由は先のポアソン方程式のある特別な解き方を具体的な問題でやってみることである．導体のある系での電場は電荷分布も求める必要があるのでその分だけ難しい．その様子を簡易的解法で見てみることにする．鏡映法のレシピーは簡単なので、それを説明して、点電荷＋導体平板の話をする．いくつか細かな計算はサボリながら、アウトラインは示す．どうして、この話をしたかというと、実は最近の物性理論の研究の現場で、この鏡映法が渋く活躍していることを知り、その先生から駒場で鏡映法を教えているかと突っ込まれて、これは教えなきゃいかんだろうと思ったわけです．何が何の役に立つのかはわからないものなんです．