電磁気B木曜2007おさらい5

電磁気B木曜第5回おさらい

今日のおしながき

• 1 静電場の世界
  • 　1-9 ガウスの定理

今日のまとめと反省

前回のガウスの法則をもう少し考え直してみたいというのが，今日の目的．最初に法則の積分形と微分形の違いについて話をする．夏学期の復習もかねて，力学の運動方程式と力積の方程式の関係についてざーと話す．もしこれらの違いについて考えたことのなかった学生がいるとするれば，それはそれで復習になっただろうか?法則なんて，いくら覚えてもキリがないが，その背景について考えてみるとためになることが多い．今日は微分形を目指そうというわけである．なぜそれが大事なのかは，力学の例からも理解できたかな．

さて，そのためにまずガウスの法則の積分の中身について感覚を養わないといけない．ここでは電気力線を導入することで，表面の積分で何が求まっているのか，とか，内部で何が起こっているかを想像してみることにする．左辺の積分は文字どおり表面から垂直にでている電場成分をかき集めたことだが，それは電気力線の数を勘定していると思ってもよい．電場は表面だけしかわからないが，電気力線はその性質から内部を貫いて，反対側へ飛び出しているというわけである．

次に，微分形にいくために，数学の道具をもってくることにする．それが今日の主題であるガウスの定理である．よく教科書には「発散定理」と呼ばれていることがある．発散はdivergenceであり，ガウスの定理の右辺に登場するがそれに対応する．このdivの心を理解するためにも，ガウスの定理の証明をやってみることにする．ここではあまり数学的に厳密さを追求せずに，素朴に左辺から右辺が導かれるようすを見てみる．ただし，任意の閉曲面での積分での証明なので，若干の工夫が必要である．これはガウスの法則(物理)のときのからくりとはちょっと異なる．まずは微小体積での証明をする．これは本当に定義どおり代入していけば右辺に到達する．この様子を偏微分とか法線ベクトルの方向とか基本的な定義を確認しながら板書でしめす．最後に2つくっつけたときの様子を示して，任意の閉曲面へつなげる．これをガウスの法則と組み合わせるとガウスの法則微分形が出てくる．

実はこれはクーロンの法則のすべての情報を持っていないことを簡単なデモをする．中学生にもわかる説明とともに，大学生チックな説明もする．足りない情報は．．．ここは天下り的に与えてしまうが，その物理的な意味は電位の定義に密接に関係する．そのあたりを来週の予告として概観して，今日の講義は終わる．もうちょっと行けるかと思ったが，ここあたりで区切りがよかったので，さくっと終了する．

今日の宿題

• 任意のベクトル場に対して，であることを示せ．
• 静電場の法則として，ガウスの法則とを考えると，ベクトル場}の3つの未知の関数に対して，条件式が4つになる．これは条件が強すぎて，解が存在しないということはないのか?

配布するファイル

• 今日配った練習問題の解答例:Answer-EM-v1-1.pdf(1158)
• 次回配る予定の練習問題の続き:Problems-EM-2nd.pdf(491)

今日の質問

ちょっといろいろあったような．．．

今日の投票用紙の裏より

もうちょっと促さないとダメかな．今日もアンケートしなかったが，やっぱり来週はアンケート復活だな．このページの宣伝はもう一度やってみた．

今日の雑談

• 今日の投票数は， 61でした．大体下げ止まった感じかな．駒祭も近付いて落ち着かない雰囲気なのかもしれない．お祭りを楽しむのはよいことである．大いに楽しんで欲しいと思う．一方で，大学の講義はそれとは関係無しに進んだな．それはそうである．あっ，そうそうこの人数はレポートの締切だったことが原因か?
• 今日は黒板ネタから始まったが，確かに「一言」は余計だったかもしれない．与太話から始めると，テンション上がったまま講義に突入することになる．これはよいことなのかどうなのか．．．とにかく，今日はテンション5割増しでした．決して追加料金はとりませんけど．．．　

今回のWEB投票

• 今日の講義の出来は?

今回の一行コメント

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