統計熱力学おさらい10

第10回おさらい

今日のおしながき

• 3 統計力学の基本的な応用
  • 3-3-3 量子力学的な調和振動子系
  • 3-4 相転移と平均場近似
    • 3-4-0 相互作用の強い系
    • 3-4-1 イジングモデルと平均場近似

今日のまとめと反省

前回の続きで，量子系の調和振動子の解説からはじめる．比熱の表式を求めて，高温で古典系と同じ結果出すところまで確認していたのが，前回の最後であった．今回は，問題の低温での振舞いを調べるところからだった．そこでは指数的に比熱がゼロになることが示される．これは部分的には望ましい結果である．つまり，古典系では比熱は定数で実験的にあわず，また熱力学第三法則とも整合していなかったわけだが，量子版では温度依存性は顕著で，絶対零度でゼロにむかい，またエントロピーも同様にゼロ になることがわかった．また，温度はいつでもでスケールされているので，例えば高温の定数からずれるところはパラメータに依存している．つまり，物質に依存することがわかる．物質に依存しない普遍的な性質(Dulong-Petit則)と物質に依存した性質(低温でのずれ)をとらえる典型的な例になっていると思う． ところが，よいことばかりではなくて，実験的には比熱はに比例してゼロになるのに対して，今回の結果は指数関数的である．残念ながら，この結果はEinsteinモデルではどうすることもできない．この様子は計算をする前にすでに気がつくことである．二準位系の比熱の振舞いと基本的には似ているわけである．絶対零度で最低エネルギー状態にすべての振動子は落ち込んでいて，温度を少し挙げたときにエネルギーがどうなるかというと，最初のエネルギーギャップを乗り越える温度エネルギーがないと，なかなかしんどいというわけである．この感じはわかるだろうか?

ではどうすればよいかというと，ほとんどどうすることもできないような気がする．しかし，諸悪の根源が有限のにあることがわかったので，そこを変更するしかないとも思える．結局，一定の振動数をもつ独立な振動子の集団だと思うことが間違いだと言うことである．そこに改良を与えたのがDebyeである．詳細は講義では説明しなかったが，どんな振動が起きているかは絵を描いて説明してみた．興味をもったら是非適当な本を読んで勉強して欲しい．

ここで前回のアンケート結果についてコメントを入れて，休憩しようと思ったが，なんだかちょっと説教モードになってしまったかもしれない．あまりくどくならないようにとこころがけたけど，やっぱ説教くさかったかも．でもでも，やっぱ大事なことだし，説教はおじさんの特権でしょ．

さて，次の話題に突入する．これまではモデルの設定をすれば，分配関数が容易に計算できた例ばかり説明してきたので，なんでもできるような気がしたかも知れない．ところが，広く一般にはそうではない．例えば，相互作用が強くて無視できない系がそうである．その状況をまず説明した．具体的に変数のからまり具合を示してみたので，その感じはわかってもらえただろうか．分配関数が正しく計算できないときに我々のとる選択は大きく３つである．そのうちの二番目をここで紹介することにする．問題は，磁石の相転移を表す最も簡単な例題である．そのモデルはイジングモデルと呼ばれている．その説明と，平均場近似について説明する．わりとゆっくりと，恒等変形を説明したけども，その意味はよく考えておいて欲しい．最後には途中に導入したスピンの期待値の決定方程式を導出した．それを解くと相転移が出てくる．中途半端だが，ここでタイムアップ．実際に解くには年明けの講義になってしまった．

今日の宿題

• 今日の復習．復習が宿題というのも，小学校のようでヘンだけど，あえて．
• 量子力学的調和振動子系のエントロピーを求めて，振舞いを調べよ．
• Debyeモデルについて調べてみる．

配布するファイル

練習問題の答えを配る．note-ans-v3.pdf(232)

今日の質問

なんかあったような．あったはずなんだけど．．．

今日の投票用紙の裏より

僕も統計力学が一番衝撃的で分れば分るほど味わいがます物理だと感じている最中です．

講義の中で，私が言ったことに反応してもらっているようです．私が大学生時代に一番影響を受けたのが，高田先生の統計力学でした．岸本先生の量子力学もよかった．後は自分で勉強して楽しかったことの方が圧倒的に多かったですね．これは悪いという講義ももちろんありまして，XXの熱力学，○○の物理数学．どちらも偉い先生ですけど．

今日の雑談

• 今日の投票数は， 29でした．しまった!油断をしているうちに30人をきってしもうたがな．教室のスカスカ度も目立ってきたなー．イカンイカン．さらに今日みたいに説教モードを立ち上げてしまっては，来年度の講義が思いやられます．．．

• なーんにもやる気がしないという不幸な人達のためのアドバイスとして，「バイトして金を貯めろ」とよく言われます(言われないか?)．ニートしてないで，すぐ近い将来何かしたいためにもお金を貯めろというわけです．それから，あまり勧められない(と言われる)のが，「旅」．旅は中毒になってしまいますから，本当に行ったら帰って来れなくなることがあります．それも人生と思えればそれでもいいのかもしれませんけど．それでも，旅をするにもお金は要りますね．さて，それは学生ではない人達に言われていることで，学生(勉強が本分)が何をやってよいか本当にわからないときには，「語学と数学をやれ」と言われました．少なくとも私が学生のときは言われました．どっちも，何を学ぶにも役に立たないことはないからです．小学生が国語と算数をやればよいというのと同じ原理でしょうね．

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