統計熱力学おさらい5

第5回おさらい

今日のおしながき

• 2.統計力学の基本的な考え方
  • 2-3. カノニカル分布の導入
    • 2-3-0. カノニカル分布
    • 2-3-1. 平衡の条件
    • 2-3-2. 統計力学的エントロピー
    • 2-3-3. 物理量の熱平均

今日のまとめと反省

今日のゴールはカノニカル分布を出すことである．前回にそのための状況設定は説明しておいた．しかし，エネルギーのやりとりが起こる弱い相互作用なるものへのイメージがどの程度あるのか不安だったので，最初に連成振り子の話をした．近くにいる教官からおかりして，連成振り子を実演．といっても，自分でも作れそうなほどのものだったので，次の機会には自分で改良版を作ることしよう．(夏休みに基礎科の学科紹介で，三年生の学生たちが作っていた，ばね振り子の方が100位立派だったぞ．)

その後で注目する系がエネルギーをもつ確率を計算することで，あるミクロな状態が実現する確率を求めてみる．ここでやはり等重率の原理と，問題の自由度が多いことが大事であることがわかる．逆に言えば，それしかつかっていない．おはじき問題でやったことと同じようなことしかしていないので，よくわかったかな．その結果は，エネルギーに関して指数関数的であることが導かれた．ところが，上の事情，つまり物理的要素がまだ何も入っていないことに対応して，その意味するところはまだよくわからないままである．

そこで，物理的な性質を探るために，これまたおはじきでやったように，尤もらしい値を求めてみる．このことから，尤もらしい条件がひとつ出てくるが，これは指数部分の係数に関する情報を与えてくれる．つまり，熱浴の状態数のログの微分は注目する系のそれと同じであることがわかる．ここでオタオタしてしまうが，学生に助けてもらう．これは，初期条件が偏っていても，尤もらしい値(確率最大)が実現すれば，その値がつりあっていることがわかる．ちょっと温度っぽいというわけである．ここで巧妙なのは実際の動力学については，等重率の原理を使っているために全く分からなくなっていることである．

その温度っぽい量を陽に示すために，統計力学的エントロピーの導入が必要となる．ボルツマンによって導入されたこのエントロピーを熱力学のエントロピーと同一視することで，熱力学の関係を用いてその係数は温度の逆数であることがわかる．先にミクロの力学と分離させたものを，ここで改めて関係づけているのがボルツマンのエントロピーと思える．右辺と左辺の違いをいま一度驚いておいて欲しい．

最後に確率分布が与えられたので，期待値の計算，ここでは物理量の熱平均と呼べるものの計算例を示しておく．和の数がおそろしく多いので，実際に実行するのは嫌になるが，一度分配関数を計算しておけば，エネルギーに関する緒量は計算できる．比熱の計算をすることで，統計力学でたびたび現れる揺らぎと応答のもっと簡単な例が示される．ここでの計算はただの規格化定数を求めただけだが，実は大きな意味を持っている．その意味付けはまた次回に行いたい．

今日の小道具

携帯電話の写メールなので，ちょっと見にくいけど，手前にあるのが，2連成振り子．後ろの方にそれとなく移っているのが，5連玉振り子．

今日の宿題

特になし．

配布するファイル

今回はなし．そのうちに来週配るプリントをここにアップします．

今日の質問

釣り合いの式の符号はマイナス?

いや,マイナスは要りませんが，上に書いたように，オタオタしてしまう．後10秒あればちゃんと答えられたんだけど（負け惜しみ)，そのまえに他の学生さんに指摘される．そのとおりで，微分の記号をサボって書いたくせに，意味を誤解していた．こういうのを学生に指摘されるのは，実はうれしかったりするもんなんです．

の最初の式の意味?

最初にひっかかるところ．でもここはおはじき問題でも同じ状況がでてきたはず．そこで悩んでおけばここで悩むことはなかった．とはいえ，ここがわからないと話しにならないので，ゆっくりと議論する．

比熱の式の意味? 揺らぎを積算すると思ってよいのか?

むむむ．比熱の意味もわかっていたし，右辺の揺らぎの導出も理解した．それで，この関係式の意味するところは何か?というのが，ここでの問い．あんまりうまく答えられなかったなー．揺らぎを積算することを明示的に書いたら，自明な式が出てくるが，それはそれで理解できたようだったが，ピーンと来てる感じではなかった．エネルギーの温度についての微係数が，その温度での揺らぎに関係しているのは一般の確率分布で起こることではないが，温度とエネルギーのような組合せで確率分布が表せている場合は成り立つ．例題を通じてまた議論してみたい．

今日の投票用紙の裏より

好きです．この授業．(同じく)

よしよし．でも，もしよろしければ，私のは授業でなくて， 講義と呼んで欲しいなー．

今日の雑談

• 今日の投票数は， 40でした．先週の減り方は事故だと思っていても，やはりちゃんと来ているかどうかは不安であった．しかも，今日は連休の谷間だし．今日は講義の最初に投票用紙を回す．もっとも心配は杞憂であって，ちゃんと40人集まっていた．
• 私は，悪い癖で学生の名前を真剣に覚えようとはしない．これは修正すべきところだ．それでも，みなさんがどこに座っているかは結構気になるもの．良いとか悪いとかではなくて，今日はこっち側に座っているのねとか，今日はちょっと前めだとか，ということ．今度の出席票は名前を覚えるためにも，場所位置指定で名前を書いてもらおうかな．

• 今日のアンケート：「練習問題解いてみた?」

回答数が少ない．．．

• 最近どうも若者とジェネレーションギャップを感じることが多いのだが(って，またこのネタか?)，先日もあった．

「高校のとき，よくブルーバックス読んだよね．
 あれくらいのことで研究者になりたいなんて思ってるのは，
 それこそけつが青いんだよね．」

決まった!まずい?おやじギャグか，って思っていると，

 ブルーバックスって何ですか?

えー，理系の大学に行く奴はあの中のどれかに惹かれて大学を目指すんじゃないのか???それとももうブルーバックスなんて全然読まれていないのだろうか？恥ずかしいことかもしれないので，「そうですよね?」って同僚にも聞けない．どうなの,みんな?

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