統計熱力学おさらい7

第7回おさらい

今日のおしながき

• 3統計力学の基本的な応用
  • 3-1理想気体のつづき
  • 3-2 二準位系

今日のまとめと反省

先週，理想気体の状態方程式やベルヌーイの式を出して，熱力学量とミクロな力学量が関係していることを見てきた．今回はまずマクスウェルの速度分布を見てみることからはじめた．カノニカル分布そのまんまなのだが，速度(大きさ）の分布を出してみる．これは極座標で書くのが簡単で角度方向の積分をすることで，最後のマクスウェル分布が出てくる．分布が最大になる速度が一つだけある分布である．その値(あるいは分布の平均値)から典型的な速度を見積もることが出来る．この式は実はエネルギー等分配の式に他ならない．計算をする前にこのことに気付くことはできただろうか?さて，この平均的な速度がどのくらいかは電卓を一度叩いておこう．ボルツマン定数と温度と気体分子の質量で書けている．練習問題として，重力ポテンシャルがあると今までの話がどうなるかを考察してみよう．黒板にはおおざっぱな問題を紹介しただけだったが，下の添付ファイルにはもう少し細かな設問まで作ってある．

このまま理想気体の話を終わりそうになったけど，ひとつだけ忘れていたことがあった．N!の話である．これがどうして必要なのかをまず説明しておいた．これは統計力学の体系を考える上で意味のあることだと考える．たまに統計力学は熱力学よりもエライという雰囲気の本を見掛けるが，ここでの話を理解することで位置づけを考えることはできるだろう．必要な理由はわかったとしても，どうしてそれを入れてもよいかは別の問題であろう．それには古典力学では完全に答えられない．そのあたりの状況をゆっくりと説明した．統計力学の当時に思いを馳せれば，より興味深い話題であろう．ギブスのパラドックスと言われる話題である．が，まあ私にはそんなにうまく話す技量がなかったかな．でも，もうすでに完成している学問体系を淡々と伝授するような講義にはしていないつもりである．どうだろうか．もしも，自分一人が離れ小島で研究していても，やはり講義でやったのと同じような体系が作れるように．．．これが私の目標である．

最後にちょっと残った時間で，次の話題としての二準位系の導入をした．問題設定と状況の説明をした．ここはもうちょっと時間をかけても，というよりしっかり強調した方がよかったかな．統計力学でのモデル化とは結局何をすることなのかというミニマルな説明になっていたと思う．残った時間があまり無かったが，ほれほれと分配関数と自由エネルギー，そして，内部エネルギーの期待値まで計算した．次回はその意味をゆっくりと考えてみたい．元気がある人は，比熱，エントロピー等を計算しておくとよい．

今日の宿題

• 講義の途中で，サボった式を埋めておいてください．
• 理想気体の結果から気体分子の平均速度を見積もり，常温での気体の速度について考察せよ．
• それから講義で話していた練習問題：note-20051118.pdf(284)
• (2005.12.01追記) : note-20051201.pdf(101)

配布するファイル

今回はなし．

今日の質問

マクスウェルの速度分布の規格化が何かヘンでは．．．

一瞬困惑するけど，なぜ困惑したのかも含めてちゃんとわかる．今日求めたマクスウェルの速度分布から速度の平均値を計算しようとすると，をかけて積分することになる．それは正しいでしょうか．正しいです．それから，その積分を実行するのは，やはり微分して求めるのが簡単でしょう．

前回の分割スケールhの影響は?

前回の位相空間の分割するスケールの話ですが，それは理想気体の場合，自由エネルギーの示量性に影響しないかということですが，それは影響しません(ね)．エネルギーの原点をずらす影響はあるのですが，それは物理としては大事ではないので，問題ありません．

今日の投票用紙の裏より

先生のご苦労がうかがえます．面白い授業だと思います．

ありがとうございます．私は特に苦労はしてませんよ．努力はしてますけど．

アンケート答えるのに満足して名前書き忘れかけた．．．

おおお．まあ，別にいいんだけど，名前の数が少ないと精神的なダメージを受けるんですよね．

2回目なので．．．

あわわ．全てネタバレという状況でしょうか．面白くないかもしれませんが，是非頑張ってください．

みんな難しいと思ってないんだなー．．．

アンケート結果についてのコメントです．後でまたこの点については触れたいです．

今日の雑談

• 今日の投票数は， 34でした．最近微妙に，だが着実に減少しています．グラフにしてみると，，，

講義でも言ったように，すぐにグラフを描いてみるのはとても大事です．さて，上のグラフで，4回目はアクシデントで人数が減っていますが，それを除けても単調に減少しています．油断をしていると，目標の8割りも切ってしまいました．イカーーーン．

• 今日のアンケート

講義は難しい?面白い?

でした．マークをしてもらったので，それをそのまま掲示することにします．

大体真中あたりに分布していて，なんとなく「難しくてつまらない」から「かんたんおもしろい」方向へつながる線上に多くマークされています．上にもコメントをくれましたが，「難しい」と感じている人がほとんどいないのは正直予想外でした．これは「講義がたよりない」ということかもしれません．さらに，目立つのが，一つある「かんたんつまらない」ですね．どうもこの学生にはちゃんとした話題を提供していないということのようです．

• 今日の講義では，前の人に簡単な質問を連発してみました．結構，テンポよく答えてくれてよかったです．すぐ答えられる能力を鍛えるのは大事ですね．大体外さない答えを先ず思い浮かべて，どんどん考察して正しい答えに近付いて行けばよいです．さらに，その第一感の精度を上げられると，議論が楽しくなってきます．ちなみに，私は即答ものが苦手です．道を探していても大体確率二分の１を外すことが多いです．よくそれでこんな業界にいられるものだと思うことがあります．よく考えたときに，正しい方がわかればそれでいいということなんですね，きっと．

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