統計熱力学2006おさらい7

統計熱力学 第7回おさらい

今日のおしながき

• 統計力学の基本的応用
  • 理想気体

今日のまとめと反省

前回までに統計力学の基本的な原理のお話をしました．そして，最後に統計力学のプログラムの説明をしました．今回から，具体的な例題を考えて，そのプログラムを実行することにします．

今日の例は，「理想気体」です．高校のときに学んだPV＝nRTを統計力学の観点から見てみようというのが，ここでの目的です．まずは，ミクロな状態とエネルギー関数を決めます．ここは我々が行うモデル化であり，プログラムのインプットです．ここから熱期待値の計算のために分配関数を計算したいところですが，その瞬間に手が止まります．連続変数である位置・運動量をどうすればいいのかを，実はこれまで説明して無かったからです．とりあえず，位相空間を分割しておいて，その分割メッシュを細かくして連続極限をとることにします．そうすれば，「ミクロ状態の和」は積分で置き換えることが出来ます．メッシュのスケールは後で考えることにして，計算を先に進めます．この多重積分は一見複雑そうですが，良く見ると全部個別にバラバラに計算できることがわかり，位置からは体積Vが，運動量はガウス積分すればよいです．この計算から分配関数が求まります．それがわかると，エネルギーの期待値，比熱，圧力が計算できて，晴れてPV＝nRTが導くことができます．エネルギーや比熱の思量性も確認できます．はい，おしまい．というわけではもちろんありません．この簡単な例を通しては我々は何をやってきたのか?それからなにが分るのか?を議論できます．統計力学を用いてこの状態方程式を導くことの意味を考えることができます．こういうことをやらないと，計算バカになってしまいます．

最後に残った時間で，メッシュのスケールと自由エネルギーの示量性について議論しました．前者は量子力学の不確定性原理と関連した話題をしました．この講義でも，位相空間のメッシュにはプランク定数を用いることにします．もっとも，これが最後の期待値に出てくることはありません．それから，自由エネルギーの示量性を回復するために，分配関数をN!で割ることを説明しました．時間があまりなくて，ワワーと話したので次回の前半でコメントするかもしれません．

今日の宿題

• ヘルムホルツ自由エネルギーの示量性を議論せよ．
• 分配関数の定義にN!をいれても，理想気体の状態方程式は変更されないことを示し，その意味を説明せよ．
• 今日の例題を復習して，重力中の理想気体の統計力学を考察せよ(練習問題3ー2)．

配布するファイル

• 練習問題の解答例を配りました:note-ans-sm2006-v2.pdf(938)

今日の質問

N!を加えると，全体に変わりませんか?

変わると困るわけですね．変わらないからくりを簡単に説明しました．上の宿題にも挙げました．ゆっくり考えて下さい．

今日の投票用紙の裏より

あれこれ

今日の雑談

• 今日の投票数は， 13でした．教室みても確かにまばらで寂しい限りです．
• 今日のアンケート：

 配った練習問題は解いたか?

• でした．面白い回答をもらったので，またコメントします．

全くやってない派のみなさん

• これからやります．．．
• やってません．
• 残念です．
• 年内にはやる予定．
• すみません．
• やりたくはあるのですが．．．

一問以上やった派のみなさん

• 2，3問やりました．
• 2ー5まで
• ５問くらい
• 2ー6までです．

その他に「全部といた」欄に(予定)という人がいました．ナイスです．

• 今日の最後の雑談は「自作ノート作成のすすめ」でした．前回のアンケート結果を受けて，私の配っている練習問題とその解答例集をもっと活用してもらおうと思って説明したわけです．まとめると，がんばって勉強しようということだったのです．まあ，ノートを作ると思っても楽しいわけです．講義のときも話しましたが，今，残っている大学時代のノートはそんな沢山ありません．見るに耐えないものが多いのですが，その中でも今見ても面白いのは数冊確かにあります．もちろんそれ板書を写しただけものではありません．自分であれこれコメント書いていたり，計算していたりするものです．そんなんが残っていると将来嬉しいもんですよ．そこで，講義ノートに加えて，この練習問題も自分の言葉で解答が書いてあったりなんかしたら．．．どうでしょうか．

[このページのアクセス数：204]