統計熱力学2006おさらい9

統計熱力学第9回おさらい

今日のおしながき

• 3 基本的な応用
  • 3-3 相互作用のある系
    • 3-3-0 相互作用
    • 3-3-1 スピン模型
    • 3-3-2 平均場近似

今日のまとめと反省

最近はすっかり恒例になっている一枚復習からはじめる．前回の二準位系の概要をお話して，宿題の答えであったエントロピーを示しておく．このエントロピーの温度依存性だけから何が起きているかをまた考えてみる．計算しなくてもだいたいわかることだが，式を見てグラフを描いてみせるとわかる次元が違った気がしないだろうか?前半は中学生でもわかるレベルで，後半は高校生レベルである．どのレベルでも説明できるようになるのは，大事なことかもしれない．

さて，今日はその二準位系に相互作用を導入すると，相転移がおきるという話をする．まず，相互作用が分配関数の計算を著しく難しくしている様子を確認する．相互作用のある例をみて，それらの系の性質を知るための戦略をまとめておいた．大きく3つある．他にもあるかもしれない．講義では第二の方法である近似法を考える．具体的な計算を示す前にその例題であるスピン模型について説明する．ここはどこまで説明すればいいのは迷うところ．迷いながら話していたので，よくなかったかも．次元や格子の形が変わると，諸性質は大きく変わる．ここでは一般の近接数zを持つイジングスピンの模型の平均場近似を考える．

一口に平均場近似といっても，その導出にはいろいろある．ここでは平均場という感じがわかることと，どこでどんな近似をしているのかがよくわかる説明を試みた．スピン変数をその平均値とそこからのずれに分けて書いて，ハミルトニアンを変形して，ずれの二乗を無視するのが平均場近似の一つの説明の仕方である．計算自体は足したり引いたりするだけである．最終的には，知らない変数mを含んだ，変な二準位問題になっている．このけいの″分配関数"や″自由エネルギー"は先週と同じように計算できる．後は，そのmをどの陽に決めるかであるが，それは最初に平均値だと思ったので，やはり平均値でしたという条件を課して決める．その条件式を自己無撞着方程式と呼ぶ．最後に，磁場がない場合のmを求めておく．その温度依存性はある温度を堺に，ゼロから非ゼロに急激に変化する．この現象が相転移である．こんな簡単な模型と計算から相転移が出てきたわけである．次回は，今回の計算の詰めていたいところをしっかりと説明してみたい．

今日の宿題

• 磁場があるときには今日の意味での相転移はおきないことを示せ．

配布するファイル

• なし．

今日の質問

• Σijの和を計算するときのからくり．

質問されて，黒板でゆっくり計算する．そうすると，3行かかった．「三行分を飛ばしたんですね．」って言われて，うん確かに．．．すまんすまん．復習のときに埋められるかなー?

今日の投票用紙の裏より

ファインマン楽しいですね．まだ，力学ですが楽しく読めて深く考えさせられます．熱学も早く読みたいです．

よいことです．ところで熱学ってありましたっけ?あっ，読んでないことばれちゃったかな．日本語版の1,3,5しか読んでないです．

相転移が面白かったです．

こういう素朴な感想が実は一番うれしかったりする．結局，勉強するときって，「面白い」と思うことが一番の，そして唯一の健全な動機なんですよね．

今日の雑談

• 今日の投票数は， 15でした．今日はわざとゆっくりめに出席票を回しました．やはりそれでも15人なんだなー．もう目でみても数えられる人数だ．実は最近来年度の講義分担が決まりそうです．来年はこのコマは担当しません．今学期が4回目なので，そろそろ気分を変えてもいいだろう思いました．ただ，これが私のほとんど唯一の基礎科との係わりだったので，少々残念な気もします．講義をやらないと，卒研で希望することもないでしょうしね．全体の反省のところで，総括しないといけませんね．
• 今日のアンケート: なし

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