統計物理学おさらい11

第11回おさらい

今日のおしながき

• 3 統計力学の基本的な応用
  • 3-4-1 平均場近似 つづき

今日のまとめと反省

あけましておめでとうございます．講義もあと残すところ数回ですが，よろしくお願いします．年を跨いで，間が悪いのだが，平均場近似の続きを話す．復習を兼ねて，前回のアウトラインをサーと概観する．思い出せたかなー．

今回はまず平均磁化の決定方程式(self-consistent Eq.)を解くことから始める．今日の計算のほとんど全てが高校の時の解析の内容で出来てしまう．高校の時に何が面白くて増減表なんて作るんだろうと思っていた人達にとっては少なくともここで一つの例題に出くわしましたね．方程式を解くと言っても，まずは磁場が無い場合について，グラフで解の性質を見てみることにする．方程式の左辺と右辺をグラフにして，温度がパラメータになっていて，そのパラメータを変化させたときの解の変化を簡単に見ておく．ある閾温度があって，それよりも高温ではm=0しか解がないのに，低温では複数解が出てくることがわかる．どっちがよいかは自由エネルギーの大小で判断される．ここで増減表である．確かに，温度が下ルと，m=0から0以外の有限の値に定性的に変化する．これを相転移と呼ぶ．mの温度依存性は，簡単にわかるところから調べておく．転移温度近傍と絶対零度近傍．その中間は宿題にする．もちろん，どうやって解くかも示しておいたので，続きをやるかやらないかはみなさんの問題です．

エントロピーとか比熱を調べてみると，特徴的な温度依存性をしめすのだけど，それらはすべて宿題にしてしまって，講義では磁化率だけ示しておく．二準位系でキュリー則を示したその量は，今度は転移温度にめがけて発散することがわかる．とても派手である．

さて，最後にこの相転移という現象がいかに変わっているかを話しながら，みなさんを混乱させてみようと思った．まずは，磁場が少しでも入ってしまうと，相転移が起きないことを見てみた．それから，磁場が無いときには模型がスピンを全反転してもエネルギーを不変にする対称性を持っているために，平均磁化はゼロになることを示す．これはカノニカル分布の期待値としてはどのような意味を持っているかを説明してから，指数関数の解析性の話をする．いろいろしゃべった(あんまりまとまっていなかったか)が，相転移は普通に考えると起きなさそうな気分になったのではないだろうか．さて，その答えは半分くらいは講義で話しました．つぶつぶの一つをじっくり調べてみても，絶対に相転移は説明出来ないと初回に話したことを覚えていた人がいたとしたら，その答えは今回でわかったかな．

ここで10分前になったし，区切りもいいので終了!

今日の宿題

なんかいっぱい宿題を出してしまいました．

• 平均磁化の温度依存性を求めよ．例えばこんな感じmag.txt(114)．できればグラフに描いてみよ．
• 自由エネルギーの温度依存性，エントロピーの温度依存性を調べてみて，その意味を考えよ．特に，二準位系との違いを考察せよ．
• 磁化率の計算の詳細をサボったので，最後までフォローせよ．特に転移温度の低温側から転移温度に近付いたときの様子を詳しく調べよ．
• 平均場近似で熱力学極限をどこで施しているか，また，対称性の破れた解を見付けるために行った操作はどこか?(これは講義中にはあからさまには話していない．さーてどこかな?)

配布するファイル

今日はなし．

• (2006.1.11): 来週配る予定のプリント(練習問題の解答例)を先行アップ：note-ans-v4.pdf(520)

今日の質問

質問がない．．．

今日の投票用紙の裏より

去年渋谷駅に張ってあったWindowsの広告にのっていた男性の一人が何度見ても先生そっくりなのですが，．．ひょっとしたら本人ですか?

そうそう．あの恐竜みたいな奴．ちがうちがう．

あー，私もそれ見たかったなー．どこにあったんだろうか．

今日の雑談

• 今日の投票数は， 73でした．むむ，微増．去った者は決して戻って来ることはなく，年が明けて心機一転がんばろうなんて学生はなかなかいないもんです．などと講義中に力強く言ったんだけど，実際は増えています．大変失礼しました．

• 今日のアンケート 「第14回(1/27)の講義への注文は?」

このシリーズの講義は14回目もあるので，最終回は何かしら学生さんの意見も参考にしながらやってみようかなーと思って，この問いかけをしてみました．この講義の内容は試験には出さないという条件もつけて聞いてみたその回答は．．．

休講にしちゃう ： 80票

おーい，投票数よりも増えとるやないかー．どういうことやねん．

アドバンスな内容 ： 22

これは例題として，書いておいた答え．確かに少なくない．

センター試験の日に休み : 7

なるほど，これはなかなかよいアイデアですね．「マチがえてバイトいれちゃったヨ」って学生さんもいました．この日に変わった内容をするのもいいかもしれない．

先生の研究について： 3

ふむふむ．

先生が最もアツイとお考えの話でなるべく身近なもの：5

そうですね．それもいいかもしれない．でも，注意しておくと，いろんな先生がこれは面白いと言って話す話題が本当にアツイかどうかは，話し半分で聞く必要があるよね．その人が熱いのはいいとして，業界としてあるいは学問として，将来的に筋がよい話題かどうかはアツいかどうかとは全く関係ない．学生をミスリードしてしまうこともよくないことです．

ナウ(死語)な話題：3

ナウですか．

ニューラルネットワーク：2

例えば，これ．この話題ならば提供できるけど．．．いろいろと難しそう．

超ひも理論：1

これは無理です．すまんね．私の趣味でないし，というのは逃げ口上．ひもはひもでも，本当に高分子のようなひもの方が面白そう．

半分は質問タイム：1

これは現実路線ですね．

• 初夢というわけではないけど，年末とつい先日，今日の講義の夢を見た．年末には，今日の講義と全く異なる内容を話してしまう夢．予告したわけでもなく，全く文脈のない内容を延々と話してしまって，困惑する自分．先日は，オフィスにいるのだけど，気付くと10時50分になっていて，「あー，遅刻」などと焦って教室へ向かって走っている夢．なんで，こんなに講義で失敗する夢ばっかり見ちゃうんだろう．

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