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統計物理学おさらい4

第四回おさらい

今日のおしながき

  • 2.統計力学の基本的な考え方
    • 2-2等重率の原理
    • 2-3カノニカル分布の導入

今日のまとめと反省

今日から真面目に物理の話に突入する.まず,大自由度の力学系の性質を極々簡単に説明して,等エネルギー面上の軌跡について考えてみる.そこで軌道についての時間平均と位相空間での統計平均との違いについて説明し,ここではこれらが一致することを仮定する.ただし,ここで統計平均の重みを軌道についての事後経験確率だとすると,実は問題はほとんど簡単になっていないことがわかったと思う.このままでは相変わらず,最初に想定した「アボガドロ数ほどのニュートン方程式を解くことは困難」だという事情は変わらない.なんとか,統計平均の重みを決めたいわけだが,そのために先の位相空間の軌道についての事前の知識が何もないということをあからさまな原理として採用する.それが等重率の原理である.つまり,エネルギー一定で取り得る全てのミクロな状態は全て等しい確率を持つとするわけである.さて,ここからそれぞれのミクロな状態が出現する確率がどのように決められるかが次の問いになる.これは来週示すことにする.

今日の宿題

今週は特になし.練習問題を解いておいてください.

配布したファイル

先週のおさらいページにアップしたものから,少々更新したPDFファイル(note-20051021-v2.pdf(206))のコピーを配りました.

今日の質問

これだけの人数(といっても超大講座というわけではないんだけど)だとなかなか講義中に質問が出ないもんだ.しかたがないか.

やっぱり,微分して求めるところがよくわからん.

ということだったので,黒板で計算してみる.今度,この辺りの練習問題を作ってみることにして,実際に幾つか練習してもらうことにしよう.

今日の投票用紙の裏より

シラバスにのっている題は「統計物理学」だがWEBページでは「統計力学」を多く使っているので,検索してもみつけにくい.

確かに.最初に作ったファイルの名前が統計力学でrenameしようとしても,どうしていいかわからなかったので,ほっておいたのはいけなかった.さっきrenameの方法を調べて,実行した.講義の名前は確かに統計物理学だが,それは統計力学を用いたあるいはそれ自身の研究分野の名前だろうと思う.一般的に,電磁気学,量子力学と並ぶ呼び名や統計力学だと思う.

topologyとphaseのちがいに一言ふれておいたほうがいいと思う.

これ理解するのに時間がちっとかかった.位相空間の話をしたので,その位相のことですね.今日の文脈でこの違いを説明する意味が教育上本当にあると思うかね?ワシはないと思うよ.

太田浩一教官について

前の講義でも太田先生のこと聞かれたんだよな.この手の問いかけには真剣に答える必要はないと考えるんだけど,これを機会に少しだけ宣伝?をしておく.太田先生はつい先日,「マクスウェルの渦,アインシュタインの時計」という新しい本を出版された.

エッセーかと思って読みはじめたら,結構太い物理の本だった.まだ一章ちょっとしか読んでいないが,最近の電車のお供にさせてもらっている.こんな先生に学部の講義を受けられるんだったら,きっと私の電磁気の講義のように薄っぺらじゃなくて,しびれちゃうと思いますね.幸せなことだと思いますよ.あっ,でも「味が悪い」ってのがわからないように,そのありがたみが分かるには少々修行がいるかな.

統計の知識は必要なのか?

前回の疑問の続きかな.それほどは必要ないと思います.高校のときの確率・統計くらいの知識はないと困ります.

実は自宅にPCがある人が少ないのでは?

はい,そうですね.少なくとも私が学生のときは持っている人が極めて希でした.そのせいで,教官がWEBで情報公開することははっきりいって ゼロでした.でも,今は時代が変わって,例えば情報処理センター?っていうかな.情報基盤センター?で学生は端末使えますよね.Macが並んでいる部屋をのぞいたことがありましたが,結構壮観ですね.その端末使えばいくらでもネットサーフィンできます.サーフィンなんかしなくても,私のページをのぞくことはできますよね.これはここで言っても仕方がないので,講義の時にコメントします.

等重率の仮定のところで,P(x)=\frac{W_{N-1}(M-x)}{W_N(M)}\simeq\frac{N^NM^M}{(M+N)^{N+M} }\frac{(M-x+N-1)^{M+N-x-1} }{(M-x)^{M-x} (N-1)^{N-1 になんでなるの?

うーん,式がパパーンと出てくるのは嬉しいですね.そうではなくて...そこの途中の式が間違ってましたね(頭の中で暗算していたとすれば正しいのだけど).ゆっくりとやると,

P(x)\simeq\frac{(N-1)^{N-1}M^M }{(M+N-1)^{N+M-1} }\frac{(M-x+N-2)^{M+N-x-2}    }{(M-x)^{M-x} (N-2)^{N-2} } \simeq \frac{N^{N-1}M^M }{(M+N)^{N+M-1}  }\frac{(M+N)^{M+N-x-2} }{M^{M-x} N^{N-2} }

最初の変形はスターリングの公式で,二番目は,xや1,2がN,Mに比べて小さいという近似を使っています.最後の式を約分すると,ノートの最後の式が出てくるはず.

今日の雑談

  • 今日の投票数は, 90でした.微減だが,ほぼ定常状態になったということでしょうかね.確かに初回よりも空席が目立ちます.これ以上は減らないように頑張って行きましょう.それにしても,実は次回がちょっとピンチですね.だって,連休の谷間ですから.天気がよかったりしたら,完璧にどっか遊びに行ってますね.
  • 今日のアンケートは,「講義のWEBページを見ているか?」でした.
Yes!!No!!
2730

ほぼ同数だけど,投票していない人達は見ていないということだと,カウンター数から予想されるようりはみていないですね.自分でクリックして増やしているだけってことですかね.まあ,最近はあまり見に来るほどの価値もないかもしれません.上にもコメントもらってけど,見える環境は情報センターに行けばあるわけですよね.我々のころも大型計算機センターというのがあって,そこで演習とかしましたが,今から思えばなんちゅー使い勝手の悪いインターフェースだったんだろうという感じです.

  • しかし,今回はなんかミョーに本当に妙に気合いが入ってしまっていました.何でそんなにテンションあがってるんだろうという感じです.来週はもう少し冷静にお話しようと今の段階では考えています.

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最終更新時間:2005年11月02日 01時55分15秒