統計物理学おさらい9

第9回おさらい

今日のおしながき

• 3統計力学の基本的な応用
  • 3-3 調和振動子系から固体比熱へ

今日のまとめと反省

今回は調和振動子系の統計力学的性質を解説することが目的であった．まず，最初のその問題設定を説明し，一般のポテンシャルの平衡点近傍での微小振動が調和振動子でよく表されることを示す．これは力学のポテンシャル論のところで話されるべきわだいだろうが，私はこの夏の力学では話さなかった(そのことはこの講義にはもちろん全く関係ない)のでここで話す．固体の熱振動との関連も話すことで問題の価値づけをしておく．その後は，統計力学の処方箋にしたがった簡単な計算をすればよい．エネルギー，比熱，エントロピーを計算して，グラフを描いておく．エネルギー等分配則との関係やエントロピーが低温極限で負に発散することを話す．これはまずい．固体の比熱との絡みでもうまくないことが明らかになる．この辺りは，思い付いたことの全てをしゃべりまくった．

具体的に固体の比熱に関する問題点とEinstein模型の話をする．何が問題だったのかを考えてみることは面白い．悪いところがどこにあるのかは，実はいろいろありそうである．その一つを具体的に指摘したのがEinstein模型ということになる．量子論にまつわる話とかも交えて，量子版の調和振動子の計算に移る．

量子力学は封印することを講義の最初に決めたので，ここではブラックボックスとして，統計力学に必要な部分だけの説明をした．その後は分配関数の計算であるが，計算計算といっても，高校のときの無限級数の和を計算する程度である．エネルギーと比熱を計算して，タイムアップ．次回をこの性質をみていくことにしよう．

今日の宿題

• 講義の復習

配布するファイル

なし．

• (2005.12.15: 明日配るファイルを先行アップ note-ans-v3.pdf(386)(PDF file)．間違いがあれば指摘してもらえると助かります．

今日の質問

分配関数の計算で積分範囲は-∞から+∞もはや微小振動どころではない．それでいいのか?

調和振動子系を考える状況を最初に説明した．そこでは一般のポテンシャルの平衡点近傍のところでの微小近似が調和振動子を与えるとした．その後で，統計力学の計算をするときに，この微小近似を大幅に越えているのは．どう正当化するのか，というのがここでの問い．

まずはこの調和振動子系の統計力学的な特性を調べてみようというのが目的であり，その適応範囲は後から考えようというのがここでの立場．当然，平衡点から外れて，固体が解けてしまうような状況は考えられない．しかもこの模型の範囲では，位置の期待値はずーとゼロなので，熱膨張などは議論できない．そのためには調和項からのずれを考えなければならいが，これは練習問題12の最後に挙げられている．少し考えてみて欲しい．

高温になるとポテンシャルは深くなる?ということか?

上に続いて，講義の後で質問を受けた．やっぱり，高温になっても解けないのがよくなかったらしい．ポテンシャルは温度の効果を入れられないので，高温になってもポテンシャルが深くなるということはない．問題は考えている問題がそもそもどのくらいのエネルギースケール(の深さ)を持っているかということだが，それは今日の議論には出てきていない．

今日の投票用紙の裏より

今日は講義の出席者がだんだん減っていることについての嘆き節に反応してくれているコメントを頂きました．ほとんどがなぐさめモードでして．．．

講義に来る人間が半分もいればいい方だと思いますが．こういう数理科学的な授業で70人は多い方です．自分の必須の電磁気は30人位です．

ありがとうございます．しかし，日本一教員の多い東大ではあーんな教員やこーんなことする教員やいろいろいるわけで，そんなのと比較されても困ります．そもそも下を見て安心するのはレベルの低い人間のすることです．私も必須電磁気で最終回に30人くらいのをやったことはあります．はっきりいって，敗北でした．この講義も段々それに近付いて来ているわけでして，まずいね．

がんばっていると思います．

そうですね，みなさん頑張っていますよ．

興味がないわけではないし(じゃなきゃとらないです!)面白くないわけでもないですが，一週間のサイクルで復習するだけの時間がありません．一学期とくらべて妙にレポートが増えていてそれで手いっぱいなんです．冬休みにはかならず復習しますよ!せめて基礎実験がなければ．．．

大変なんですね．それぞれの先生方はお互いの相互関係無しに，自分の都合でレポートだすんでしょうからね．まあ，がんばってください．

しかし，「面白くないわけでもないですが」って，それは面白くないってことですよ．本当に面白かったら，ほっとけないでしょう．ハリーポッター好きだったら，５巻が出たらすぐに読むでしょう．読まずには要られないわけです．統計力学はそんな存在ではないということです．別にそれがよいとか悪いとかとかというわけではありません．どの学問もそうなるってことはもうありえませんから，大学生活の早い段階でそんな学問に出会えるといいですね．そのためにはそれなりの準備をしておく必要があるとは思いますけどね．自分の好奇心に誠実につき合えばよい，それだけのことです．

ちゃんと出席してる輩からノートだけ借りようとか考えてる輩が結構いるから少なめなんだと思います．でも俺は毎回でてますよ!ムズイケド楽しい!!

ノートだけみても，価値半分以下だと思いますけどね．しかし，講義にでることの価値を見出せないのだから，講義のやりかたに問題があるということです．

講義ノートだけをコピーする学生は毎年いるもので，それはシケタイ制度が成立していることからもよくわかります．たびたび，講義に出ている学生が講義に出ていない学生に対してその要領のよさを妬んだり．講義に出ない学生が好成績をとることの理不尽さへの不満の声を聞くことがあります．そのたびに．そんな学生に「講義にでることによる何かしらの得した感」を与えることができなかったことを残念に思います．「ムズイケド楽しい!!」っていうなんていうか，ちょっと心が踊っている感じが出ている者だけに獲得できる大事なことだと私は思うんですけどね．

講義の受講人数が減り気味なのは単に学生の粘りが足りないだけだと思います．先生が肩を落とされる必要は全くないと感じるのは僕だけでしょうか．

授業料にどこまで含まれるのかなーと考えることがあります．学生のやる気を出すのは入っているかなー．

今日の雑談

• 今日の投票数は， 69でした．おいおい．とうとう70も切ってしまったか．

• 今日のアンケート:「この講義のための復習時間は?」

• まあ予想どおりといえば，そうなんだけどなー．ちゃんと復習している人が10人以上いるからよしとしなければいかんかな．そうそう，今日一人解答案を持ってきてくれました．その分の解答例は来週配るかな．
• いやー，講義の時から調子が悪かったんだけど，その週末は完全にダウン．声は全くでない．上の反省もいまひとつで，すみませんね．なんかもっといろんな大事なことを沢山話した感はあるんですが．．．

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