統計物理学2006おさらい6

統計物理学第6回おさらい

今日のおしながき

• 統計力学の基本的考え方
  • 分配関数と熱力学関数
    • ヘルムホルツの自由エネルギー，シャノンのエントロピー
• 統計力学の基本的な応用
  • 0 統計力学のプログラム

今日のまとめと反省

最近意識して前回までの講義の復習を最初の5分を使ってするようにしている．全体の流れがこれで掴めればよい．これまでにカノニカル分布の導出をやって，"温度"がどのように関係するのかを明らかにしてきた．この式をゆっくりながめてくると，改めて何だか遠くにきたもんだという気がする．もう力学系の性質は全くはいっていない．どこで失ったかは講義で話したが，みなさんの中でゆっくりと納得しておいて欲しい．前回の最後にはエネルギーのゆらぎが小さいこと，比熱が正であることを一般的にしめした．これらのことから，エネルギーの温度依存性について現状で言えることをまとめてみた．

さて，今日はもう少し熱力学との関係を議論してみたい．具体的には分配関数と熱力学関数の関係をはっきりさせてみたい．まず，そのために，熱力学でたびたび出てくる量を統計力学で表しておきたい．マクロな観測量を統計力学で表現するには何をする必要があるか? 物理量の熱期待値を計算する際の基本的な思想である．ここでは圧力について考えてみた．ミクロな表現で圧力はどう書けるかを議論し，熱期待値を計算した量をマクロな量とみなすのがここでの作戦である．講義では具体的にさらさら計算して示す．結果はlog Zをvで偏微分して，kTかけた量であることがわかった．前回のエネルギーの期待値と同様に，log Zが大事そうである．ここで，熱力学の関係式を思い出してみて，そのlog Zが何なのかを考えてみる．熱力学との対応関係を見ると，それはヘルムホルツの自由エネルギーに関係していることがわかる．

次に，分配関数から出発して，今の議論を後から?見てみる．規格化定数である分配関数の意味について考えることになると思ったので，少々冗長な気もしたが，この説明をした．クロネッカーのデルタ関数の説明をして，ほれほれ計算してみると，確かに尤もらしい条件から，熱力学の関係式が出てきて，さらにエネルギー分布が尤もらしいエネルギーのまわりに急峻だとすると，分配関数が，E-TSを用いて表すことが出来る．確かにヘルムホルツの自由エネルギーっぽく見えると言うわけである．あくまでも，これは熱力学の関係式の導出や自由エネルギーとの関係を導出したわけではない．最初に分配関数の定義で温度が"正しく"導入されている．まさに，議論を逆さまに見ているだけなのである．統計力学と熱力学の関係はこういう関係なのである．最後におまけとして，エントロピーを自由エネルギーで書いて，そこに分配関数の式を代入してみる．そうすると，シャノンのエントロピーが出てくる．情報理論で出てくるエントロピーだが，確かに物理の言葉でエントロピーと呼びたくなる理由が分るだろう．

これで統計力学の基礎編について前半で話すことは終わった．ここから基本的な応用にすすんでいきたい．もう残り時間が十分を切ったので，統計力学の応用でやりたいプログラムを説明した．ステップ1，2，3である．次回からその具体的な例を紹介したい．

今日の宿題

• 圧力の統計力学的表式：を最後まで示せ．
• 熱力学復習．ヘルムホルツの自由エネルギーとエントロピーの関係式をチェック!
• シャノンのエントロピーはlog pの熱期待値の形で書かれています．つまり，和で書かれています．えーと，ボルツマンのエントロピーとはどういう関係かな?

配布するファイル

なし．先週配った問題の番号が少々変でした．

今日の質問

記号，変数名一覧表を配るのはどうか?

確かに．前回のコメントに関する返答を講義の最初にしたときに，このようなコメントを頂きました．手元に一枚，変数一覧表を置いておくとよいということでした．確かにね．確かにね．．．

今日の午後に研究室のセミナーがありました．修士の学生が論文紹介してくれたわけですが，なんか変数の意味がわからんと気持ち悪くて，いちいち私は質問していました．何度も同じ変数について聞いていて，申し訳ない感じがしました．この場合はでもライブ感覚で全てを理解しないといけないので，その場で聞くしかないですね．講義の場合もできればそうして欲しいのですが，「ライブで式変形は理解しなくてもよくて，家で復習して理解すればよい」と言ったことと矛盾してるな．．．

のE^*の意味?

彼のノートを見ると，その直前にはE=E^*と，省略せずにその条件が書かれていました．それと同じ意味です．沢山書くのが面倒なんで，そのように省略するのは慣例的です．何を変数と思っているのはわかる(ここではE)ので，その値(E^*)だけを書いても許されるというわけです．もっとも，最初には説明しないといけないですね．

今日の投票用紙の裏より

前回の授業の復習を開始時に少ししていただけると助かります．

私は貴重な講義の時間を使って，復習をするのは非常にもったいないとずーと考えていました．もう話したいことは一杯あるのに，復習なんて時間の消耗だと信じて疑わなかった分けです．講義が始まる前に，前回までに何を話したかを，学生も教官もお互いにきちんと理解しているのは，ほとんどお互いの契約だとも思っていました．しかーし，ワシが学生のときはどうだったかなー，とか，そんなん思っているのはこっち側の勝手読みか．．などと最近思い直すようになりました．ほとんど，今学期からです，講義の開始時に前回のレビューをするようになったのは．こんな感じどうでしょうか?

板書の移動順について．

私の講義では黒板のはじに番号を書いて，板書した順番を学生にわかるように明記しています．これは最初学生から指摘された方法で，結構イケてる方法だと思っていました．今回，その番号付けはよくないと指摘されました．ががーん．詳細な提案を図付きで頂きました．ここにその図をつけるのは難しいので省略しますが，ポイントは縦に1，2と行くのではなくて，横に移動しろということです．確かに1の板書が終わる前に，2が上に上がるのは問題ですね．納得です．よし，これは即採用．来週からそのようにやってみます．が，長年浸みこんだ，縦移動が簡単に横移動になるとは，思えないぞ．

モーニング娘。は古くないです．

先週の「おさらい5」に反応してくれています．

大変，失礼しました．

正直おじさんにはモー娘。はきつい．メンバーを覚えるまもなくころころ変わって，おにゃんこ(これは完全にふるい)がほぼ単調増加だったのに対して，複雑な増加現象されてはついていけませーん．世界バレーもみててつらいぞ．バレーボールの試合を純粋にみたいぞ!これはWATも同罪だ．TBSも視聴率とりに必死なんだろうけど，スポーツをここまでなめるのはひどいんじゃないかな．アイドルとってる人がきっとバレー撮ってるんだと思うのだが，ボールの落ち際をことごとくはずすカメラワークが酷すぎる．少しは勉強してほしいって，話があっちの方向にいってしまった．

寒くなって眠くなってきましたね．がんばって起きるので教授もがんばってください．

はい．がんばってください．それから，私は教授じゃなくて，助教授です．それから，近いうちに名前が変わるそうです．准教授だったかな．

学習時間の9割以上は語学と実験に消えます．そもそも学習時間の全体の時間が足りないのかな．

今日のアンケートに反応してますね．それぞれの科目に3時間割り当てると，それでもう一日が24時間じゃ足りないですね．そこをどう乗り切るのかは(割り切る?)みなさんの力量です．取捨選択しなければならないのが，現実だと思います．がんばってみたいところに力を注ぐのが正しいやりかただと思います．我々の方はどうするかといえば，みなさんが頑張ろうとする科目になるように気を引くことくらいでしょうか．レポートを出して強制的に時間を割り当てさせるのは一つの手なのですが，それがよい方法かわかりません．必須科目ならば私もレポートを出しますが，ここは総合科目なので，レポートなどという低俗なものではなくて，もう少し高尚な雰囲気を守りたいところです．みなさんの心に響くような講義をして，配った練習問題を自分でやってみたくなるようにしたいところです．というわけで，次回のアンケートは「練習問題を自分で解いてみたか？」にしたいと思います．

駒場キャンパスに先生はおられるんですよね．実験とかはXXしてらっしゃるやるのでしょうか?

XXのところが読めなかった．普段ですかね．実験はしていませんが，駒場キャンパスにいますよ．夕方頃にふらーと甘いもの買いに生協へ出没します．

今日の雑談

• 今日の投票数は， 50でした．なんかすごく減ってる．．．これは給料泥棒の領域に入ってきているような気がする．．．
• 今日のアンケート

この講義のためにの復習に週何時間かけてますか?

• 結果は，

でした．うーむ．ヨソウドオリというかなんというか．

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