熱力学2007おさらい11

熱力学第11回おさらい

今日のおしながき

• 熱力学関数
  • 完全な熱力学
  • 自由エネルギー
  • 熱力学的変化の方向

今日のまとめと反省

前回の最後に前振りをしていたように，今回は「自然な変数の組」の話をする．何が自然なのかは我々が決めるわけなのだから，どうでもよいことかもしれないが，それでもその組を選びたくなるようすはうまく伝えてみたいと考えていた．まずは内部エネルギーUを考える．このときはT,Vではなくて，S,Vが自然な組になる．まず，U(T,V)とS(T,V)はVを止めればTの単調関数であることは示しておいたので，U(T,V)からU(S,V)への変換は可能である．そうすると，どっちでもいいような気がするが，U(S,V)からは状態方程式も熱容量も導出することができる．この意味で偉く，U(S,V)を完全な熱力学関数と呼ぶことにする．U(T,V)ではそうはいかない．状態方程式に関する情報が欠如している．この意味で不完全である．ここでわかるのは，S,Vを変数に選ぶときには，Uを知ることで状態方程式と熱容量をすることができるというわけである．物質の熱力学的性質がわかるといってもよい．ところが，U(T,V)ではできない．状態方程式と熱容量からU(T,V)はわかるが，逆はそうではないというわけである．Uを知るなら，変数はS,Vがよいというわけである．苦労してエントロピーを導入した介がある気が，ここでちょっとだけする．

ところが，変数はS,Vというのはちょっと気に入らないということもある．実験をするときにSを制御するのは面倒である．他の組合せはあるか?は次に気になるところである．そんな組合せは他にも存在する．まずすぐにわかるのは，S(V,U)である．議論はまったく同様にできる．

さらにさらに，T,Vを変数にするには．．となったときに，その完全な熱力学関数として自由エネルギーを導入することになる．F=U-TSとすると，T,Vを変数とする完全な熱力学関数になり，これをHelmholtzの自由エネルギーとよぶ．完全な具合は，これまで示したことと同様に示せる．もうあきる位かもしれないので，詳細な計算は宿題にすることにした．しかし，少しだけ重要なのは，エネルギー方程式と呼ばれる熱力学の関係式がここで簡単に証明できる．数行の計算でFから出すことができる．これを使った問題は練習問題に以前にすこしのせておいた．ここにきてやっと証明できたというわけであるが，その途中に偏微分の交換をする．数学的にはほぼ自明な関係式だが，出てきた関係はあまり自明ではなく，直感的にもピーンとくる感じがしないものである．これはMaxwell関係式と呼ばれて，完全な熱力学関数があると，そこに一つ付随する関係式である．これを，まあー学生のときはたくさん覚えて，熱力学が嫌いになったわけである．でも，よく考えてみれば，こんな関係式は覚える必要がない．もっと大事な関係が背後にしっかりあって，導くことは偏微分ができれば簡単に出てくる．驚くべきは出てきた関係式の自明でない等式であって，たくさん存在する事ではない．ってなことを離しているうちに時間がきてしまう．自由エネルギーの「自由さ」について話をする予定だったが，それは次回の最初に．

今日の宿題

• S(U,V)が完全な熱力学関数であることを確かめよ．
• Gibbsの自由エネルギーG(T,P)が完全な熱力学関数であることを示せ．また，Gから導かれるMaxwell関係式を求めよ．
• エンタルピーが完全であることを確かめよ．

配布するファイル

• 練習問題解答例の続き:Answers-NR-v2.pdf(248)
• 次回配る練習問題の続く:Problems-NR-v3.pdf(95). 今後追記されます．
  • 7/23:ちょっと修正版:Problems-NR-v31.pdf(608)
• 次回配る分: Answers-NR-v3.pdf(93). これはまだ未完成なので，今後も更新される予定．
  • 7/23:ちょっと修正版:Answers-NR-v3.pdf(93)

今日の質問

熱力学の関係式はどうやって覚えているの?

「だから，覚えていないんだって」と答えると，「黒板にすらすら書いていたから．．．」とな．そりゃー前の晩にめちゃくちゃ予習してますから．．．

???

熱力学第一法則をつかって，定積条件で．．と説明しようとしたら，ピーンときたようでした．

理想気体のエントロピーが全微分でかけること?

前回の講義でのはなし．ゆっくり説明しなおす．練習問題の解答でも配る．

前回の換算熱の計算をするところの温度?

これも前回のところ．熱伝導が起きるときのエントロピーを計算したところ．

前回の宿題で，理想気体のエントロピーの熱容量の積分から求めるときに，マイヤーの関係式は使っていいのか?

前回の宿題に関する質問．Cp=Cv+Rを使ってよい?と聞かれた．よいです．そしたら簡単だといっていきました．そうでもなかったんだけどなー．

今日の投票用紙の裏より

黒板の番号の振り方はこれこれの方が読みやすい

図を描いて，黒板の順番を指摘してくれました．たしかにそうなんだよな．去年にも指摘されて，一度そのように変えてみたことがあったんだけど，こちらとしてはなんとなくしっくりこなかったんで．．．もう一度考え直します．

問題形式を教えてほしいです．

試験問題のことでしょうか．筆記です．選択ではありません．というようなこと?

配られる練習問題をやるだけで十分ですか?

ほぼ十分かなーと思います．必要であることは言えますが，十分とは言えないかな．

他にやった方がよい問題集などあったら教えてほしいです．

とりあえず，練習問題だけでもいいような気がします．

参考書ってよんだほうがいいですか?

うーん，これはまた漠然とした質問です．完璧にわかっていれば読まなくてもいいかもしれないが，完璧にわかっているかどうかは何もしないとわからないわけだからね．．．

熱力わかんない．

そうですね．私も学生のときはそうでした．

この前，保健センターで福島先生を見ました．体調は大丈夫ですか?

40が見えてくると，体にガタがきますね．みなさんにはわからないと思います．私もちょっと前までは分かりませんでした．はっきりいって，おっさんになったということです．

はじめは面倒臭くて出席しませんでしたが，出席してみると授業がおもしろくて，はじめに出席しなかったことを後悔しました．これからもがんばってください!

最初のころは面白くなかったということですね．

今日の雑談

• 今日の投票数は， 60でした．ほぼ一定状態に落ち着いています．6割くらいということですね．8割を目標にしていたのでちょっと残念です．前半で盛り上げないと，一度こなくなった学生はもどってくることはないのでね．ただし，前半を盛り上げるというのはちょっと難しいのですよ．その芸を身に着けないといけない．

• 今日のアンケート

熱力学はおもしろかった?

• 次回が最終回で，「授業評価アンケート」をみなさんにはお願いすることにしています．そのために投票用紙を回すのが今回が最後です．最後に，みなさんに「授業評価アンケート」では聞かない項目について，おそるおそる聞いてみました．
• Noからyesまで直線のガイドラインを描いておいたのですが，結果は完全に一様分布でした．
• こちらは今日も気持ちよく話していました．

今回のWEB投票

• 今日の講義の出来は?

今回の一行コメント

[ページのアクセス数: 0000174]