熱力学2008おさらい3

第3回おさらい

今日のおしながき

• 熱力学の基本
  • 4状態と状態方程式
  • 5状態方程式の例

今日のまとめと反省

前回に引き続き，状態変数の話から始まる．今日は状態変数が大きく示強変数と示量変数の二つのカテゴリーに分類されることを説明する．状態方程式を書くときにどの組合せで出てくるかを意識してみるとよい．左辺と右辺で示量性がつりあっていないと困る．熱力学はマクロな現象の物理法則であるといわれる一方で，それを明らさまに意識することはこれまでのところはなかった．とりあえず，この示量性が最初ということになる．

状態量が出てきたので，それらの間に成り立つ関係式として，状態方程式を導入する．いくつの状態変数をもってくれば熱力学的状態を指定できるかは自明ではないが，経験的には数個でよいことが実験的にわかっている．このことから状態変数はお互いに独立ではないことになる．例えば，多くの気体の場合には二変数でよいので，圧力は温度と体積の関数になっているというわけである．具体的な関数形は熱力学だけからはわからないことが多く，物質に依存している．これは実験によって明らかにされる．

ここで，熱力学第0法則を思い出して，温度計の話に戻る．摂氏温度形の温度目盛の話をして，温度計に向いている性質を今までに知った概念でまとめてみる．ついでに空洞の話もする．．．．とこのへんで余計に時間を使った気がする．

戻って，状態方程式を求めるには，温度を固定して体積を変化させながら，圧力を計る．そうすると一本の線がPV面にかけます．これを異なる温度について調べていけば，状態方程式が得られたことになる．もうちょっと賢い方法として，各観測点での微分係数を求めることで周辺を知ることです．ただ，二変数関数なので，微分には偏微分が必要です．ということで，ちょっとだけ偏微分の説明をする．変数関係があるときに不思議な関係式が導けることも話をする．これは数学の性質だけど，物理的な意味も少しだけ説明する．それにしても，偏微分というと過剰に反応するのはどうしてだろう?変な擦り込みがあるとしか思えないです．

次に，具体的な状態方程式の例を示す．ひとつは高校のときに習った理想気体の状態方程式である．1モルの理想気体の状態方程式をボイルの法則とシャルルの法則からまとめる形で書いておく．ここの法則との関係はゆっくりしゃべりたかったけど，時間がないので断念．とりいそぎ，nモルの場合の状態方程式を導いておいてから，van der Waals気体の状態方程式を書いておしまい．これがレポート問題だったので，急いでここまで書いてしまう．次回はこれを少し説明するところから始まる．

今日の宿題

• 偏微分の練習問題をがんばって．

配布するファイル

• 練習問題のその1を配る:Problems-NR-v1.pdf(103)
  • 解答は近いうちに配ります．
• レポート問題:Report-1.pdf(110)
  • 問題2は偏微分なんか使わなくても大学受験数学でできる問題だと思う．どのように解いてもいいことにしよう．一般の多角形の場合にも同じような結論が出来て，極限で円になるというのは直観的に正しそう．．．でもどうやって示せばいいですかね?

今日の質問

fとPは同じもの?

状態方程式を一般に,P=f(T,V)と書いていたのだけど，途中からP=P(T,V)に変更．これが混乱の元になったようです．最初から，P=P(T,V)と書きたかったけど，右辺と左辺の意味が混乱するかと思って止めたことがかえって混乱を生んだようでした．

のVの意味．

偏微分はのように書くことにして，これはT以外の変数は定数だと思った微分のことだと説明した．このVはあからさまに「Vは定数ですよ」という意味です．これはどうも熱力学に特有の表記です．数学の人からみると，冗長なのですが，物理の慣習ということでお許しください．

が成り立つ条件は?

この式のちょっと前の式を出すときに，圧力一定の条件とか，体積一定の条件の元での式を書いてから，変形してこの式に至ります．そこで，最初の圧力一定の条件でしか成り立たない関係式かというわけです．これらの条件は途中の式で偏微分の式を書くときに埋め込まれています．これを質問してきた学生のノートにはその大事な直前の式が抜けていた．黒板には書かれていたはず．どこで条件が埋め込まれたかをもう一度確認してください．

練習問題1ー4の問題不備?

早速，今日配った練習問題についての質問がやってきた．二階に登るときにエネルギーを熱量に変換する問題だが，二階の高さが明記されていないというわけである．よくある質問というか苦情なのですが，これはまた説明しますが，なれてほしいと思います．今までは完璧に準備された問題に完璧に答える訓練ばかりやってきたと思います，少なくとも受験対策では．でも，完璧に準備された問題は答えが用意されているつまらない問題とも思えますよね．問題を作る，あるいは設定する方が，断然難しくて面白い問題です．二階の高さくらい適当に設定しましょう．100Mだと思っても，10cmでも間違っていますよね．センスが問われているわけです．ところで，東京都にある床屋の数はどのくらいでしょうか?(オリジナルはニューヨークのピアノの調整屋の数だったか?)オーダーを評価する練習問題です．100件，1000件，10000件，もっと?お馬鹿なTV番組チックでなくて，理由も説明せよって感じですかネ．二階の問題も何回往復すると風呂が沸くかな?

今日の投票用紙の裏より

沢山書き込みがありました．質問できない人のためにこの「紙の裏」があるのだけど，これがかえって質問をでにくくしているのだとすると，本末転倒な感じです．ふー．

ココ　ナッツ　ミルク

うーん，困った．

今日の授業のとき冷房動いてましたよ．．．．

ありがとう．それならよかった．座っているみんなはひょっとして寒かったりするかも知れませんね．それならそれで指摘してください．舞台の前はもう暑いです．

3限はつらいです．

うん．1限も2限もつらいものです．そうそう，研究は楽しいけど，勉強はつらいものだという偉い先生の言葉があるのを知ってますか?

3次元のグラフがよくわからない???

すみません．ちゃんと書く気がないのに，勢いで描いてしまって失敗です．

偏微分が始まったとたんによくわからない．とdがどう違うのかわからない．

上にも書きましたが，みなさんの反応に答えないといけませんね．多変数関数のときに，dとは区別します．偏微分の定義は講義で話したとおりで，特にびっくりする定義ではありません．他の変数を見なかったことにした微分で，それを微分表します．一方で多変数のときにある関数fの微小変化dfは多変数の微少変化によって表されます．他の変数は見なかったことにするというわけではありません．例えば，となります．xの微小変化とyの微小変化の合計になるというわけです．このときの係数a,bはそれぞれ偏微分で書けて，}となります．係数は傾きなので，yを定数としてその傾きをかけておくわけです．この様子を描いた，いや，描いたつもりなのが3次元のグラフだったのです．．．

(上の二つをうけて)みんなそう思ってますよ!!!

リサーチどうもありがとう．なんちゅーか，こう，みんなどう思っているかは君には関係ないでしょう．みんながわからんから自分もわからんと思っているようでは，ちょっと残念です．「わしはわかるよー」と涼しい顔をしている方が．．．それはちょっと嫌味か．話を戻すと，私は君にそんなにいわれるよりも，「わしはなんのこっちゃわからん!」と言われるだけで真摯に受け止めますよ．

今回から学籍番号書くんですか?

が逆っぽい．

どこが逆だと思ったかな?

あれ?もう10分前ですけど．．．いつ終わるんでしょうか?

十分前に終わると思ってなんとかがんばってたのに．．．約束は守ってくださいよ．前回も今回も．

こういうコメントもらうと腰砕けます．10分前終了は目標です．それから，その10分は質問のための時間だと説明しませんでしたっけ?

既知のことばっかではないですか?

そうかもしれませんが，それは個人によることです．

ネットに授業のまとめプリント的なものがもっとしっかりあるといいな．

のときの，P，Vは左辺と右辺で区別しなくていいのですか?

そうですね．AもBもまったく同じ環境であれば同じでいいですが，一般にそうでない場合は，区別しないといけないです．

聞き間違いかもしれないけど．．．結局，ここ(空洞)は熱容量が小さい方でいいんですよね?

そうです．空洞は小さい方がいいです．それから，壁は大きい方がいいです．

「熱力学2008」のページ見ましたが．．．誤字が気になりマス．

自分でも気になります．このページは大抵，通勤の電車の中で書いています．本当に混んでるときはやりませんが，適度な混みくらいならノートPCを小さく広げて．．．そうすると，漢字変換がよくみえないまま選択したりしてしまっていて．．．音をひろって，再変換してください．

偏微分の説明が早くてちょっとわかりにくかったかもしれません．

婉曲表現ですが，早くてわかりにくかったですね．慣れが必要なことがありますから，次回から計算を示しながら説明します．もっとも単純な例題は練習問題にあります．

偏微分の説明をもっとしっかりしてください．習ったことがないです．テイラー展開についても全く知りません．今日からわからなくなりました．高校の履修範囲をもっとはあくして下さい!!他3票．

偏微分の定義はこれ以上説明することはないですね．後は全微分か．そもそも微分は大丈夫なのか?計算はできるけど，意味がわかってなかったりする?東大生でそれはないか．

まだまだつづく．．．

今日の雑談

• 今日の投票数は， 109でした．まずい．早速10人も減ってしまった．ちょっとまずいですね．．．．今日は，「カルロスゴーん」さんと「ヘラクレスオオカブトJr]さんがいらっしゃいました．
• あっというまの一週間．最近，追われるように時間が過ぎている．．．

• 今日のアンケート

物理学は好きか?

• まだ，「物理学」は分かりませんが，高校の物理は好きでした!
  • よい教育を受けられたということですね．私は物理よりも数学の方が好きだったかな?今は物理の方が面白いと思える．

今回のWEB投票

• 今日の講義の出来は?

今回の一行コメント

• 風邪をひいたため保健センターにいった後早めに帰省していまして、既に都内にいなかった・・・自習しておきます - XXXXXXJ (2008年05月09日 20時08分38秒)
• お大事に．個人情報保護のため?ここには匿名でいいですよ．番号はほげほげにしておきました．little....さん． - ふくしま (2008年05月09日 20時27分00秒)

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