力学2011おさらい2

力学第2回おさらい

今日のおしながき

運動の記述
- 位置ベクトル
- 速度ベクトル
- 加速度ベクトル
- ベクトルの演算

運動の記述のための準備として，位置ベクトルを定義しておく．座標軸を右手系に設定し，デカルト座標と極座標を説明する．極座標はいずれ使うことがあるので，そのときに改めて説明史他方がよさそうだ．その後，速度ベクトルと加速度ベクトルを説明．どうして微分なのかというのはわかったようなわからないような説明をする．途中で，例を示し，それから未来を予測するための運動論を簡単に説明する．ここまでは全く物理は出てこない．その範囲でできることは，単純に微分と積分だけである．最後に，ベクトルの演算として，二つの掛け算を説明する．ここまではまったく物理ではない．でもそのことを意識しておくことは大事だと思う．それにしても、時間がかかりすぎた．最後に第一法則だけ説明．次回から，予測に関して物理の知見が入ってくる．

今日の宿題

ベクトル積の関係式を示せ．
- $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{c}\times\vec{d}) = (\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\cdot\vec{d})-(\vec{a}\cdot\vec{d})(\vec{b}\cdot\vec{c})$
- $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})$
ベクトル積の成分表示と定義が同等であることを示せ．具体的には，
- $(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a} = (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b} = 0$
- $|\vec{a}\times\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2\sin^2\theta$

配布するファイル

なし

今日の質問

ベクトルとは方向をもっている．ところが $\vec{e}_r$ の向きはもう他の基本ベクトルで指定されているから，必要ないのではないか？

原点Oからある観測点Pを考えて，その向きに一つの基本ベクトルをとります．それが $\vec{e}_r$ です．直線OP上でx軸からみた角度を増やす方向に一つ，z軸からみた角度を増やす方向に一つをとります．3次元の方向を表すにはやはり３つの基本ベクトルが必要となります．OからみてPの方向だけでなく，任意の方向を記述するために必要となるわけです．

ここの二乗はなくても成り立つのではないか？

ちょっと説明不足でした．ベクトル積の定義から二乗をなくした関係式は満たすべきですが，実際に成分を書いてそのことを示したくなりますよね．それで，デカルト座標でのベクトル積の成分を書いてみました．ところが，これを直接計算するのはとても面倒くさそう．そこで，成分でチェックすることをちょっと止めて，ベクトル積の性質から一般的に示そうと考えると，二乗の式はわりと簡単に示せますよっということです．