力学B2007おさらい6

力学B第6回おさらい

今日のおしながき

• 運動方程式を解く
  • 微分方程式の解法　続き
  • 空気抵抗のある落下運動
  • ばねの運動

今日のまとめと反省

前回の続きとして，微分方程式の解法を解説する．今回は定数係数の線形の微分方程式を解く一般的な方法を説明した．どうしてそれでいいかは後で考えることにして，まず手順書をまとめるように，各ステップで何をやるのかを示してみた．黒板4枚できれいにまとまった．これを眺めながら，各各のところでどうしてよいのかとか，うまくいっているからくりについて説明した．もっとも大事な定理(解の一意性とか)は数学で教えてもらうところだろうから，ここでは説明しない．特性方程式をもとめるところで，指数関数とおくところや，最後にふたつの解の和をとるところは線形方程式の特徴である．

さて，方法がわかれば例題をやってみるのが一番の習得方法である．例題として，空気抵抗のある落下運動を考える．ここでは速度に比例する抵抗を考える．まず，物理の問題として設定を考えて，運動方程式を書き下す．抵抗力の符号がそれで正しいことは落ち着いて考える必要があるだろう．さて，解くべき微分方程式が与えられたら後は数学の問題名ので，先の手順書にしたがってゴールへ突き進む．ステップ1．．3で初期条件を使って，未定定数を決めると終りである．そうそう最初に特解を求めなくてはならないが，ここでは睨んでわかるくらい簡単なものである．もっとも，定数の不定性があって，どうか不安になるかもしれないが，結局，特性方程式からも定数の項が出てくるので，初期条件を指定したときには完全に消えてしまう．数学で保証されることは，線形微分方程式の初期条件が与えられた元でも一意性である．

とければ物理の世界に戻ってきて，解をみながらあれこれ考えてみる．まずはグラフを書いてみる．速度は時間が経つと結局定数での等速直線運動になる．これがターミナルベロシティ，終端速度である．それは運動方程式を解かずにも分かることではある．抵抗係数が同じだと重いものが早く落ちてくることが分かる．さて，ここで落ち着いて，りきがくにおいて運動方程式を解くことの意味を考えておく．以前にも話したことだが，例題を見た後だと感じも変わるだろう．力が与えられると運動が予測出来る．予測できると，検証が出来る．検証するときには未知のパラメータがわかる．その値が力の性質への知見となる．という感じである．今の問題の場合，抵抗係数がどんな性質を持つかは，いろいろと研究することで分かる．答えは力学の外側かもしれないが，何が聞いているかを推測出来る．物体の大きさに依存しているとか，回りの媒体(空気なのか水なのか)に依存するとか．．．その結果ストークスの理論で抵抗係数の標識がわかってくる．空気中を降りてくる霧雨の場合の終端速度を見積もってみると，0.1m/secである．ものすごくゆっくりに感じるが，霧とはそんな感じなのだろうか?

最後に時間がちょっとだけあったので，次の課題であるばねの問題設定だけ説明して終了する．

今日の宿題

• 微分方程式を解いてみよう．練習問題に例題は乗っている．下に解答例を張りつけておきます．

配布するファイル

• 第一回レポートの解答例:Note-cm-v2.pdf(105)
• 第二回レポート問題:report-2nd.pdf(90)
  • 〆切は二週間後です．がんばってください．
• 練習問題の解答例の続き:Answer-cm-v2.pdf(96) 次回配ります．

今日の質問

最近ぼちぼち質問が出てくるようになりました．よい傾向です．まだ，みんなシャイだから，講義が終ってから聞きにくるのだけど，理想的にはそうした質問も共有したいよね．手を上げて聞いてくれると，絶対にみんなの役に立ちます．

どうして最後に足し算するの?

微分方程式の解法のところで，特性方程式の2つ解を使って求める解を最後に足し算して一般解にするのだけど，そこで上の質問です．線形方程式なので，足し算も解になっていることは分かります．重根でない場合は，2つの解の足し算で解空間を張る(表現する)ことが出来ます．全ての初期条件に解を表現することができるというわけです．

何が無次元量?

抵抗のある落下運動で，解は指数関数型になりましたが，そのときの時間の係数が無次元になります．mgとκでかけるので，κの次元を運動方程式を見ながら求めて，その係数が次元を持たないことは確認出来ます．さらに，指数関数をテーラー展開すると，係数×時間の多項式になります．もしも，それが次元をもっていたとすると，次元のちがうものの足し算になってしまって，次元として意味をもちません．実際はそんな心配はしなくても大丈夫なように無次元になっています．

変数分離でやるとどうなる?

抵抗のある落下運動は変数分離でもできるので，そのためのアウトラインを説明しましたが，もう少し捕捉をしておきました．

まったく別の質問

講義と関係ないけど，物理の質問でした．そういうのは別の機会にしたい気もします．いきなりある本をもってきて，ここが分からんといわれても，ワシはその本読んだことないし．．．でも，そんな冷たいこといわずに簡単なところを説明しておきました．

代数方程式に解がないときはどうするの?

ひょっとして複素数でもいいの?というわけで，次回はそんな例になっています．お楽しみに．

今日の投票用紙の裏より

遅れてきた人のためにプリント何枚配布したのか板書のスミに書いてください．

これは何か違う気がします．どうして，遅刻してきた人のために，貴重な黒板を使ってワシがなんかやらないかんのでしょうか?なんか甘えてますよね．遅刻するのはみなさんの自由ですが，当然そのときの責任は自分でとってくださいよ．

演習の解答下さい．あと愛をください．

ぼちぼち配っています．それから，「愛」受け取ってないですか?　教室には溢れていないでしょうか?　

今日は人が少なくて悲しいです．「線形」．．．yの一次っていうノートの"一次"ってどういう意味なのかいまいち分かりません．

一次関数という意味です．二乗や√でなくて，一次式です．これでわかる?

今日は雨が降っていて，気分が落ち込み気味です．はしかで休講になればいいな♪(補講なしで)

梅雨というのはそういう時期ですね．でも麻疹で．．．というのはちょっと不謹慎ですね．心で思っていても表に出さないのが大人です．ワシなんか腹の中腐ってますけど，口には出しませんよ．

微分方程式カオス

KAOS!線形?

chaos

カオスに興味を持たれている学生さんがおおいということでしょうか?僕等が学生のころはカオス理論が出てきたころで，学部の学生まで聞こえてくるレベルではなかったけど，時代は変わりましたね．

すいません．遅刻しました．授業で配布しているプリントとかってWEB上で公開しているのですか?出来れば公開していただきたいです．

公開してますよ!って，最初の講義で言ったでしょ．

今日の雑談

• 今日の投票数は， 70でした．減りつづけていて，下げ止まらないなー．もうそろそろです．

• 今日のアンケート

このWEBを見ているか?ってきこうと思ったけど，それを書くのを忘れて，回してしまった．

• だんだん蒸し暑い季節になってきました．5号館は新しい教室で冷暖房完備かと思ったら，セントラル制御で自由には使えないようですね．今回の講義の始まる前に，ちょっと熱かったこともあって，前の学生との会話．

　ワシ:「暑い?」
　学生:「臭い!」 

ええええ，加齢臭漂ってるのか?と思って，0.5秒ほど動揺する．そうそう，ここは修復工事が入ったから，化学物質が漂ってるのだよ．まったく困っちゃうなーホルムアルデヒト．．．と必死に心の中で動揺を隠すのであった．

• 何人かのレポートが返却できずに，紛失してしまっています．事務には届いていないようで，一方で私の方でチェックはしているので，提出されていることは確実です．どなたか知りませんか?

今日の投票

一行コメント

• テスト書き込みだ! - ふくしま (2007年06月01日 11時58分16秒)
• できた!書き込むときには下に隠れている文字をいれて，コメントボタンを押します． - ふくしま (2007年06月01日 11時59分04秒)
• サーバー側にperlのモジュールが入っていないので失敗．認証なしのcommetを足しておきます．が，スパムがうるさくなったら停止します．とりあえず，一行レス出来る状態です． - ふくしま (2007年06月01日 12時06分42秒)
• スパム防止のために九九に答えてコメントして下さい． - ふくしま (2007年06月01日 14時15分07秒)
• この頁を見てると、先生、頑張ってる様に思うが…。福島先生、頑張ってください。 - 通りすがりの社会人 (2008年03月25日 16時07分20秒)
• ありがとうございます．普通にがんばっていますし，これからも同じようにがんばっていきます． - ふくしま (2008年03月26日 00時02分43秒)

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