前回の後半に微分方程式の解法をババーとやったので，今日はその例題として幾つかの運動方程式を解いてみることにする．ひとつは粘性抵抗のある場合の落下運動で，まずは絵を書きながら，力の様子をみながら，運動方程式をたてる．そうすれば，後は算数の問題になる．これは一番簡単な非斉次微分方程式になっている．そこで，特性方程式の方法を使って，順々に手続きをおってみることにする．特解を求めるところを少しゆっくりと説明する．これは先週配ったプリントにルールだけは書いておいたが，実際に手を動かしてみるとより分かった気になるだろう．一般解を求めて初期条件から未定定数を決めておく．この微分方程式は速度に関する微分方程式にすれば一階に落ちるので，求積法でも求めることができる．自分でやってみるとよい．その後には，時間の短い極限やら長い極限の振るまいを見ておく．初速度はゼロにしておいた方がよかったとこの時におもったが，短い極限ではまず自由落下の式が出てきて，速度では時間の一次で，位置は時間の2次から抵抗の効果が見える．時間の長い極限ではいわゆる終端速度が出て来る．形状が同じだと思い物が早く落ちるということはここら辺りから出て来る．もっとも，それは終端速度に関することで，終端速度にいたる時定数は思い方が長いので，よりゆっくりと終端速度に近付くことがわかる．一度，グラフを書いてみた方がいいようなする(やってみよう)．最後に右から左への考え方を示しておく．そこが物理なところではある．
次に求積法でしか出来ない例として，慣性抵抗の話をする．まずは状況設定をして，アウトラインだけを示して，詳細はプリントで誤魔化すことにする．一度，目を通して， どこが粘性抵抗と違うかを考えてみよう．
最後にバネの振動をする．これは特性方程式を用いて解くのがよくて，しかも虚数根が出て来る典型例である．微分方程式の解き方は一連の手続きを行えばよくて何にも問題はないように見える．一般解を求めた後に，式変形から高校の時の振動の一般解を求めておく(が，ここで途中の式が間違っていて困惑させてしまった．下へ)．周期も求めておく．これで，周期の一般解を忘れても，Hookeの法則と運動方程式だけ覚えておけば，「振動の公式」は出て来るわけで，またひとつ忘れてもいいことが出てきた．目標は，例え離れ小島に一人になっても，手もとにある物理の教科書と同等なものが書けるくらいの能力を身に着けることである．これは勝手な私の設定．４年生のセミナーのときに，よくそう言われたものである．
中途半端に時間が余ったので，レポート問題の趣旨を説明しておく．なんだ か，ここが一番受けていたようで，ちょっと寂しい．結構難しいもんだいかも よ．
3-4慣性抵抗のある場合の落下に関するノー ト(PDF:100KB)を配る．同時に第二回レポート問題も掲載．
- C_1,C_2からA，Φへの変換ヘン！
- なんだか，また間違えていました．ミスが多いなー．ほとんどの場合は，ノートから黒板に移る時に間違えている．．．
ゴールは正しいので，どうにかして二つ(一般解と高校の時に出て来る振動の公式)を繋げてみて下さい．オイラーの公式と三角関数の合成則を使えば出てきます．- tが小さい展開とはどういうこと?
- tが時定数τと比べて小さいときに，exp(-t/τ)は，1-t/τ+1/2(t/τ)^2+O((t/τ)^3)と書けます．Taler展開．これを求めた解に代入すると最後の式にたどり着きます．速度と位置の両方とも同じです．
- 非斉次方程式の特解の求め方?
- 今日は非斉次項が多項式の例題が2つ出てきました．一般的に解くのは定数変化法なのですが，物理で良く出る例題でそれをやっていたのではちょっと消耗なところがあるので，今日の場合は多項式展開して，各係数を比較する方法を示しました．その時の最高次の次数に関するルールのところが質問でした．下の質問にも関係しますが，０根の個数と非斉次項の最高次の次数の足し算がそれに対応します．それから，どうして，指数関数をおいて特性方程式をつくるのかという疑問もありました．これは線形方程式の特徴です．非線型ならばすぐにダメなことはわかります．また，初期条件を固定したときの解の唯一性から，解が求めればいいことが保証されています．解の存在証明は少し面倒(といっても３ページくらい)だけど，唯一性の証明は１ページで，ちょっと面白いので，そのうちにノートに書こうかなー．．．いやいやここまでいえば，みんな解析の教科書をひっくりかえして，証明を勉強するだろうな．
- 今日のコメントについて
- 今回は雑談切望論が出ていた．
- 1.雑談が無いから眠い．雑談をもっと．
- うううう．だったら講義でなくてもいいんじゃないのか．ブリッ．
- 2.プリントは両面同じ向きに．．
- 前回はどうだったけ．コピーとるときに失敗したか．．．気をつけます．
- 3.過去問配って欲しい．
- 今年で二回目なので，去年の分しかありません．これ．ちょっと簡単で，満点とられたので，もう少し難しくする予定ですし，試験範囲は講義でやったところですから，昨年度とは変わる可能性大です．
- 4.物理的な話がすごく面白かった!もっと聞きたい．
- うんうん，そういうところに引っかかってくれるのは嬉しい．
- 5.ビリヤードが好き
- 文脈がわからないけど，ビリヤードって難しいのですよね．ビリヤード問題といって，有名な力学の問題があるくらいです．
- 6. 宿題の解答はいつしてもらえるのでしょうか?
- おお．これはやるつもりはなかった．やれば出来る問題だし，やってみることで，講義の復習になるような問題を出しているつもりです(板書するのが面倒で宿題にしているわけではなーい．ホントか?)．とはいえ，やればできるというのは，傲慢な態度でいけません．オンデマンドにしましょう．疑問が沸いたら，質問してください．
- 7. 0根ってなんですか?
- 解が0のことをいいませんか?いわないかも．．．
- 8. 数学と物理の違いを教えて下さい．
- なんかこう，ジワジワと伝わっていきませんか？だめか．．．よく書く絵の右から左の方向があるのが，物理の特徴ですね．これで，わかるか?