統計物理学おさらい6

第6回おさらい

今日のおしながき

• 2-3-4 分配関数と自由エネルギーと
• 3統計力学の基本的な応用
  • 3-1理想気体

今日のまとめと反省

前回カノニカル分布の導出をして，幾つかの物理量の期待値を形式的に出してみた．その時たびたび分配関数が登場してきて，そのなんとか微分がいろんな物理量の期待値になっていることがわかった．今回の最初の例として，まず圧力の統計力学的な表現を議論し，圧力もまた分配関数の体積微分と関係していることをみる．このたびたび出てくる分配関数Zの意味を考えてみることにする．もうすこし具体的に言えば，熱力学の何と関係しているかを探ってみたい．そこで，熱力学の関係式を復習して，それらを睨みながら対応する量を見付けてみようとする．答えを知っているので寄り道しないですぐにそれがヘルムホルツの自由エネルギーであることを見付ける．ここまでで，カノニカル分布の意味が割りと明らかになったような気がする．

さて，ここから幾つかの例題を紹介しながら，統計力学のもう一つの側面を眺めて行く個とにしたい．最初の例題は「理想気体」である．今回の前半までに確率分布としてのカノニカル分布が導けたので，具体的にモデル化をして，計算してみようというわけである．まず理想気体における状況設定を説明して，モデル化とは何をすることなのかを明らかにしておく．そこができれば残りはただの計算をするだけであるが，それほど自明な「計算」だけではないので，ゆっくりと解説することにした．．．．計算結果は高校の時にたびたび登場した気体の状態方程式(ボイル＝シャルルの法則)やエネルギー等分配則である．これらは極めて自然に導出されることになる．ここで改めてこれらの式を眺めてみると，右辺と左辺のあまりにも違う量に驚く．そこを味わいながら，残された謎のN!の理由を次回に解説したいと思う．それにしても，簡単な理想気体だけど，よく考えてみるといろいろと面白い．全く知らずに自分一人で構築しようとすると，ひとつひとつ困惑するようなことがある．

今日の宿題

• 新しい練習問題note-20051111.pdf(470)．やってみてください．まだ，ちゃんとした解答を作っていないので，解答募集中．
• というか，誰かが解答くれないと，配らないことにしようか．

配布するファイル

• 以前に配った練習問題の解答例：note-ans-v1.pdf(135). 講義の後で学生さんから指摘された部分を修正済み(のつもり)．

今日の質問

って何？

なんで積分するんだっけ？

上の質問とも関係しますが，おはじき問題の弊害でしょうね．ミクロな状態についての和は，連続自由度の場合は積分になります．そのときのメッシュで分割した微小体積が次元を無くする量として入ってきます．一度，和を積分に直すと言うことをゆっくりと考えればわかると思います．むしろ次回の講義で説明した方がいいかもしれない．

プリントで，規格化定数が１/２ちがうのではないか？

ガウス積分を示すまでは良かったけど，積分領域を誤解していました．間違いです．１/２を忘れています．

数式がIEでは見えない．

IEで見ると式が×に見えるということだった．それはFrontpageにも書いたように理由はわからないんだけど．認識はしていました．申し訳なさそうに「見えないんです」と言われると，「わしは巨人を嫌いなのと同じくらいに，マイクロソフトが嫌いなんじゃ，IEの面倒など見てやらない」とは言えなかった．ブラウザーというのはIEだけではないので，是非一度Netscape系，mozillaとか他のブラウザーを試してね．mozilla, firefox, operaでは大丈夫でした．そうそうIEではタブは使えないでしょう．タブを使えるのは便利ですよ．私も目の前のMozillaには９個もタブ開いてます．

今日の投票用紙の裏より

特になし．下に少しコメントします．

今日の雑談

• 今日の投票数は， 87でした．微妙にまた減って来てるなー．

• 今日のアンケート

問いは

ところでブルーバックスって知ってる？

で，解答は

• Newtonなら読んだコトある．
• ブルーバックスは錯視の本や数理パズル，ゲーデルの不完全性定理に至るまで随分御世話になりました．
• トイレの本を読みました．「トイレットのなぜ？」
• まあ，そんなに知らないわけではないですね．知らないとダメというわけではない本で，読んだからどうというわけではないです．高校のちょっと退屈な勉強の息抜きに，そしてちょっとだけ知的好奇心を刺激する程度の本でしょう．というものの，私が高校のときに読んだ「１０才からの相対性理論」が今の原点にあるといっても過言ではないかもしれません．高校のとき物理なんかよくわからなくて嫌いでしたから．

• (2005.11.17)なんか書こうと思っていて，なかなか時間を取れなかった．また明日ですね．そういえば，毎年講義は金曜一限と決めているのだけど，今回ははじめてそれがなくなりましたね．少し楽な感じがしますが，そのかわりに講義が連続なのでそっちの方が大変．
• そうだ．この前の講義で一つ思い出したことがある．講義の後でのんびり帰ると，教室では何人かの学生が残っていて，あーでもないこーでもないと議論していた．いいですね．そうやって理解は進んで行くものです．どうして議論することがよいかというと，一つは大勢で議論することで間違いが少なくなることが挙げられるでしょう．みんなが真剣に議論していれば，その全員がだまされないと，いやいや納得しないと，進まないでしょう．みんなが納得して間違った方向に行くことは少ないもんです．それがもし間違っていたとしても，かなりいい線いっているということです(あるいは真剣に考えていない集団か)．

是非，普段からいろいろと議論をしましょう．

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